309教育网 www.309edu.com
3.1 变化的快慢与变化率
[A.基础达标]
1．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加ΔS等于( )
2
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)
22
C．4πRΔR＋4π(ΔR) D．4π(ΔR)
222
解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)－4πR＝8πRΔR＋4π(ΔR). 2.
如图，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2
Δyf（3）－f（1）1－3
解析：选B.＝＝＝－1.
Δx3－12
3．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )
111＋＋v1v2v3v1＋v2＋v3
A. B. 33
3
C.v1v2v3
D.1
31
1 v1v2v3
解析：选D.设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，设为M，则M＝v1t1
＝v2t2＝v3t3.
3M3M3
整个时段内的平均增长速度为＝＝. t1＋t2＋t3MMM111
＋＋＋＋v1v2v3v1v2v3
32
4．已知物体的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速
＋＋t度为( )
19A. 415C. 4
17 413D. 4B.3322
（2＋Δt）＋－（2＋）2＋Δt2Δs解析：选D.＝ ΔtΔt3
＝4＋Δt－，
2（2＋Δt）
309教育资源库 www.309edu.com
309教育网 www.309edu.com
Δs13
当Δt趋于0时，趋于，所以选D.
Δt4
5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 解析：选B.在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt) ?W1（t0）－W1（t0－Δt）? 所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 6．某日中午12时整，甲车自A处以40 km／h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 km／h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________． Δs0.5×60＋0.5×40解析：＝＝100 km／h. Δt0.5答案：100 km／h 2 7．已知曲线y＝x＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________． 222 解析：Δy＝(x＋Δx)＋1－(x＋1)＝2xΔx＋(Δx)， 2 Δy2xΔx＋（Δx）＝＝2x＋Δx， ΔxΔxΔy当Δx趋于0时，趋于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5. Δx答案：(－2，5) 8.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3 1 升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为________ 27 分米/分钟．(注：π≈3.1) 解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的 3 半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t， 3 132 因为9.3t＝π(h)·h， 3333 所以h＝27t，所以h＝3t. 31313＋Δt－3 2727Δh因为＝ ΔtΔt3Δt＝ ?3? 113112Δt?（＋Δt）＋ ＋Δt＋?273279?? 3 ＝， 3113112 （＋Δt）＋ ＋Δt＋273279 309教育资源库 www.309edu.com 309教育网 www.309edu.com Δh1 所以当Δ t趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝处的瞬时变化率为9. Δt27 答案：9 12 9．求函数f(x)＝x在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪点附近的平均3 变化率最大． f（1＋Δx）－f（1） 解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝ Δx2 （1＋Δx）－1＝＝2＋Δx； Δxf（2＋Δx）－f（2） 在x＝2附近的平均变化率为k2＝ Δx2 （2＋Δx）－4＝＝4＋Δx； Δxf（3＋Δx）－f（3） 在x＝3附近的平均变化率为k3＝ Δx2 （3＋Δx）－9＝＝6＋Δx. Δx171319 令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大． 3333 3 10．如果一个质点从定点A开始运动，关于时间t的位移函数为y＝f(t)＝t＋3.求该质点在t＝4时的瞬时速度． 33 Δy（4＋Δt）＋3－（4＋3）解：＝ ΔtΔt23 48Δt＋12（Δt）＋（Δt）＝ Δt2 ＝48＋12Δt＋(Δt)， Δy当Δt趋于零时，趋于48. Δt即质点在t＝4时的瞬时速度是48. [B.能力提升] 2 1．函数f(x)＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( ) A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．无法确定 f（x0＋Δx）－f（x0） 解析：选D.因为k1＝＝2x0＋Δx， Δxf（x0）－f（x0－Δx）k2＝＝2x0－Δx， Δx又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定． 2 2．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( ) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 22 解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)＋16(t＋Δt)－(－4t＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2. 又因为在某时刻的瞬时速度为零， Δs当Δt趋于0时，＝16－8t－4Δt趋于0. Δt即16－8t＝0，解得t＝2. 309教育资源库 www.309edu.com