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数值计算方法考试试题
一、选择题（每小题4分，共20分）
1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）
A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
0126653f[3,3,3,?,3]?（ C ） f(x)?2x?3x?x?1 2. 若，则其六阶差商
A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为 （ D ）
A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （ B ）
A. 都发散； B. 都收敛
C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散； D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。
? 5. 对于试验方程y??y，Euler方法的绝对稳定区间为（ C ）
A. ?2?h?0； B. ?2.785?h?0 ； C. ?2??h?0； D. ?2.785??h?0 ； 二、填空题（每空3分，共18分）
?1?2?x?(1,?2)?,A????34????，则 x 1. 已知
2. 已知
2A2?15?221?5Ax1?， 16 ，
f(4)?2,f(9)?3，L(x)?0.2(x?6),且用线性插值可得f (7)= 2.6 。则 f (x)的线性插值多项式为1
3. 要使
20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表，
x 1.8 2.0 4.42569
2.62.2 6.04241
的近似值；
2.4 8.03014
2.6 10.46675
f (x) 3.12014
1. 用复化梯形公式计算积分
I??1.8f(x) dxn?4,h? 解：1.用复化梯形公式计算 取
2.6?1.8?0.24 1分
4分5分7分
n?1hT4?(f(a)?2?f(xk)?f(b))2k?130.2?(f(1.8)?2?f(1.8?0.2k)?f(2.6))2k?1?5.058337优秀学习资料 欢迎下载
2. 用复化Simpson公式计算积分
I??2.61.8f(x) dx的近似值。
(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）
n?2,h?2.6?1.8 解：用复化辛甫生公式计算 取
2?0.4 8分
n?Sh1n?12?6(f(a)?4?f(xk?1)?211分0k?f(xk)?f(bk?2))?1?0.46{f(1.8)?4[f(2.0)?f(2.4)]?2f(2.2)?f(2.6)}12分
?5.03300214分
?214A????441???四、已知矩阵
?6512??，求矩阵A的Doolittle分解。 （10分） 解：用紧凑格式法
n?1n?1S?h26(f(a)?4?f(xk?1)?2?f(11分k?02xk)?f(b))k?1?0.46{f(1.8)?4[f(2.0)?f(2.4)]?2f(2.2)?f(2.6)}12分?5.03300214分
u11?a11?2u12?a12?1u13?a13?4 2分
luu21?a21?222?a22?l21?u1223?a23?l21?u13a11?2??7la32?l31?u12la32?uu2233?a21?3133?l31?u13a?311?1?l32?u23?7 8分
?1??21? A?LU???21????4??2?7????311????7?? 10分
五、用Newton迭代法求解方程x3?3x?1?0在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。 （12分） 解：
f(x)?x3?3x?1?0， x0?2.0
xxf(x33k)xk?3xk?12xk?1k?1?k?
f?(x?xk?2?3x2k)3xk?3k?3 6分
x?11?2x03?13x2?2?23
0?33?22?3?179?1.8889 8分
分 5
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x2?
32x1?123x1?3?1.8794x3?，
32x2?123x2?3?1.8794 11分
故，方程的近似根为1.8974 12分
六、对下面线性方程组 （12分）
?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123 ?
1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；
2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:
A是对角元素为正的实对称阵,下面判别A 和 2D?A是否同时正定:
10.4? 1?0 , ?1?0.16?0 , 0.410.8?0.296?00.410.40.8110.40.4
? A正定 5分
?0.4?0.4??1??2D?A???0.41?0.8???0.4?0.81???
? 1?0 , ?0.41?0.411?0.4?0.4?1?0.16?0 , ?0.41?0.8??0.216?0?0.4?0.81
? 2D?A不正定.即A 和 2D?A不同时正定 8分
故,Jacobi法发散. 9分 2. 高斯-塞德尔法:由1知,
A是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛. 10分
?x(k?1)? 1?0.4x(k)?0.4x(k) 23?1?(k?1)(k?1)(k)x?2?0.4x ? 0.8x?213?(k?1)(k?1)(k?1)x3?3?0.4x1?0.8x2?其迭代格式为 ? 12分
?y'?x?y,0?x?0.4?y(0)?1 ，取步长h =0.1，
七、已知初值问题：?1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；
2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。 （14分） 解：1 .建立具体的Euler公式:
yn?1?yn?hf(xn,yn)?yn?0.1(xn?yn)?0.1xn?0.9yn 3分