6 ?1??12?36??1?0???111?0????1?? ?2??0??4??010??100??1?43? (4)?100?X?001???20?1??
?001??010??1?20????????010??1?43??100? 解 X??100??20?1??001?
?001??1?20??010????????010??1?43??100??2?10? ??100??20?1??001???13?4??
?001??1?20??010??10?2????????? 13? 利用逆矩阵解下列线性方程组?
?1?1x?2x2?3x3?1??1 (1)?2x1?2x2?5x3?2?
??3x1?5x2?x3?3 解 方程组可表示为
?123??x1??1? ?225??x2???2??
?351??x??3????3????x1??123??1??1?故 ?x2???225??2???0??
?x??351??3??0???????3???1x?1??1从而有 ?x2?0?
??x3?0x?x?x?2??123 (2)?2x1?x2?3x3?1?
??3x1?2x2?5x3?0 解 方程组可表示为
?1?1?1??x1??2? ?2?1?3??x2???1??
?32?5??x??0????3????x1??1?1?1??2??5?故 ?x2???2?1?3??1???0??
?x??32?5??0??3???????3??x?5??1故有 ?x2?0?
??x3?3?1 14? 设Ak?O (k为正整数)? 证明(E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1? 证明 因为Ak?O ? 所以E?Ak?E? 又因为 E?Ak?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)? 所以 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E? 由定理2推论知(E?A)可逆? 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1?
证明 一方面? 有E?(E?A)?1(E?A)? 另一方面? 由Ak?O? 有
E?(E?A)?(A?A2)?A2?? ? ??Ak?1?(Ak?1?Ak) ?(E?A?A2?? ? ??A k?1)(E?A)? 故 (E?A)?1(E?A)?(E?A?A2?? ? ??Ak?1)(E?A)? 两端同时右乘(E?A)?1? 就有
(E?A)?1(E?A)?E?A?A2?? ? ??Ak?1?
15? 设方阵A满足A2?A?2E?O? 证明A及A?2E都可逆? 并求A?1及(A?2E)?1?
证明 由A2?A?2E?O得 A2?A?2E? 即A(A?E)?2E? 或 A?1(A?E)?E?
2由定理2推论知A可逆? 且A?1?1(A?E)?
2 由A2?A?2E?O得
A2?A?6E??4E? 即(A?2E)(A?3E)??4E? 或 (A?2E)?1(3E?A)?E
4由定理2推论知(A?2E)可逆? 且(A?2E)?1?1(3E?A)?
4
证明 由A2?A?2E?O得A2?A?2E? 两端同时取行列式得 |A2?A|?2? 即 |A||A?E|?2? 故 |A|?0?
所以A可逆? 而A?2E?A2? |A?2E|?|A2|?|A|2?0? 故A?2E也可逆? 由 A2?A?2E?O ?A(A?E)?2E
?A?1A(A?E)?2A?1E?A?1?1(A?E)?
2又由 A2?A?2E?O?(A?2E)A?3(A?2E)??4E ? (A?2E)(A?3E)??4 E?
所以 (A?2E)?1(A?2E)(A?3E)??4(A?2 E)?1? (A?2E)?1?1(3E?A)?
4 16? 设A为3阶矩阵? |A|?1? 求|(2A)?1?5A*|?
2 解 因为A?1?1A*? 所以
|A| |(2A)?1?5A*|?|1A?1?5|A|A?1|?|1A?1?5A?1|
222 ?|?2A?1|?(?2)3|A?1|??8|A|?1??8?2??16? 17? 设矩阵A可逆? 证明其伴随阵A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*?
证明 由A?1?1A*? 得A*?|A|A?1? 所以当A可逆时? 有
|A| |A*|?|A|n|A?1|?|A|n?1?0? 从而A*也可逆?
因为A*?|A|A?1? 所以 (A*)?1?|A|?1A? 又A?1(A?1)*?|A|(A?1)*? 所以 ?1|A| (A*)?1?|A|?1A?|A|?1|A|(A?1)*?(A?1)*? 18? 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*? 证明? (1)若|A|?0? 则|A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1? 证明
(1)用反证法证明? 假设|A*|?0? 则有A*(A*)?1?E? 由此得 A?A A*(A*)?1?|A|E(A*)?1?O ?
所以A*?O? 这与|A*|?0矛盾，故当|A|?0时? 有|A*|?0? (2)由于A?1?1A*? 则AA*?|A|E? 取行列式得到
|A| |A||A*|?|A|n? 若|A|?0? 则|A*|?|A|n?1?
若|A|?0? 由(1)知|A*|?0? 此时命题也成立? 因此|A*|?|A|n?1?
?033? 19? 设A??110?? AB?A?2B? 求B?
??123??? 解 由AB?A?2E可得(A?2E)B?A? 故
?1??233??033??033? B?(A?2E)?1A??1?10??110????123??
??121???123??110????????101? 20? 设A??020?? 且AB?E?A2?B? 求B?
?101??? 解 由AB?E?A2?B得 (A?E)B?A2?E? 即 (A?E)B?(A?E)(A?E)?
001 因为|A?E|?010??1?0? 所以(A?E)可逆? 从而
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