?7?6
故逆矩阵为??1
?1??2?2?3?32??12??
?10
2??
?3?20?1??0221? (2)??
1?2?3?2??0121???
?3?20?11000??02210100? 解 ?
1?2?3?20010??01210001????1?2?3?20010??01210001? ~?
049510?30??02210100????1?2?3?20010??01210001? ~?
001110?3?4??00?2?1010?2????1?2?3?20010??0121000?1 ~? 001110?3?4??000121?6?10????1?200?0100 ~?0010?0001??10?12?11`?11?2?2?0?1? 36??6?10???1?0 ~?0?0?01000010?1?0故逆矩阵为??1?2?011?2?4?0010?1? 0?1?136?121?6?10??1?2?4?10?1?? ?136?1?6?10???41?2??1?3? 4? (1)设A??221?? B??22?? 求X使AX?B?
?31?1??3?1????? 解 因为
?41?21?3?r?100102? (A, B)??221 22?~ ?010 ?15?3??
?31?13?1??001124??????102?所以 X?A?1B???15?3??
?124????021?123?? 求X使XA?B? (2)设A??2?13?? B????2?31??33?4????? 解 考虑ATXT?BT? 因为
?02?312?r?1002?4? (AT, BT)??2?132?3?~ ?010?17??
?13?431??001?14??????2?4?所以 XT?(AT)?1BT???17??
??14???2?1?1? 从而 X?BA?1????474?????1?10? 5? 设A??01?1?? AX ?2X?A? 求X?
??101??? 解 原方程化为(A?2E)X ?A? 因为
??1?101?10? (A?2E, A)??0?1?101?1?
??10?1?101????10001?1? ~?010?101??
?0011?10????01?1?所以 X?(A?2E)?1A???101??
?1?10??? 6? 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r?1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?
解 在秩是r的矩阵中? 可能存在等于0的r?1阶子式? 也可能存在等于0的r阶子式?
?1000? 例如? A??0100?? R(A)?3?
?0010???00000 是等于0的2阶子式? 100是等于0的3阶子式? 00010 7? 从矩阵A中划去一行得到矩阵B? 问A? B的秩的关系怎样?
解 R(A)?R(B)?
这是因为B的非零子式必是A的非零子式? 故A的秩不会
小于B的秩?
8? 求作一个秩是4的方阵? 它的两个行向量是
(1? 0? 1? 0? 0)? (1? ?1? 0? 0? 0)?
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵?
?1?1?1?0?0?0?100000100000100?0?0?? 0?0??此矩阵的秩为4? 其第2行和第3行是已知向量?
9? 求下列矩阵的秩? 并求一个最高阶非零子式?
?3102? (1)?1?12?1?;
?13?44????3102? 解 ?1?12?1?(下一步? r1?r2? )
?13?44????1?12?1? ~?3102?(下一步? r2?3r1? r3?r1? )
?13?44????1?12?1? ~?04?65?(下一步? r3?r2? )
?04?65???1?12?1? ~?04?65?? ??0000?矩阵的秩为2? 31??4是一个最高阶非零子式?
1?1?32?1?3?1? (2)?2?131?3??
?705?1?8????32?1?3?2? 解 ?2?131?3?(下一步? r1?r2? r2?2r1? r3?7r1? )
?705?1?8???13?4?41? ~?0?7119?5?(下一步? r?3r? ) ??0?213327?15?13?4?41? ~?0?7119?5?? ??00000?3
2
矩阵的秩是2?
?218?2?30 (3)?3?25?103?322?1??7是一个最高阶非零子式?
37?7?5?? 80?20??37?7?5?(下一步? r?2r? r?2r? r?3r? )
142434
80?20???218?2?30 解 ?3?25?103?