(浙江专版)19版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选B 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab+1>0,故不等式a+b≥ab+1成立的充要条件是(ab+1)≤(a+b),即a+b≥ab+1.

显然,若a+b≥ab+1,则必有a+b≥1,反之则不成立,所以a+b≥1是a+b≥ab+1成立的必要不充分条件,即a+b≥1是a+b≥ab+1成立的必要不充分条件.

2.已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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解析:选A 因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1, 所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1,

/因为綈q?綈p但綈p? 綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.

3.(2018·宁波模拟)已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选A 因为四边形ABCD是梯形,且AB∥CD,所以腰AD,BC是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l垂直于两腰AD,BC时,l垂直于ABCD所在平面,所以l垂直于两底AB,CD,所以是充分条件;当l垂直于两底AB,CD,由于AB∥CD,所以l不一定垂直于ABCD所在平面,所以l不一定垂直于两腰AD,BC,所以不是必要条件.所以是充分不必要条件.

考点三 充分必要条件的应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.

证明:(1)充分性:由根与系数的关系,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.设f(x)=x+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|a|<2,|β|<2,所以f(±2)>0.

??4+2a+b>0,即有?

?4-2a+b>0?

2

2

?4+b>2a>-(4+b),又|b|<4?4+b>0?2|a|<4+b.

(2)必要性:因为2|a|<4+b且|b|<4?f(±2)>0,函数f(x)的图象是开口向上的抛物线.所以方程f(x)=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根.因为α,β是方程f(x)=0的实根,所以α,β同在(-2,2)内,且|α|<2且|β|<2.

[由题悟法]

根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点

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(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.

(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.

[即时应用]

1.(2018·杭州名校模拟)已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )

A.[1,+∞) C.[-3,+∞)

B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

解析:选A 由|x+1|>2,可得x>1或x<-3,所以綈p:-3≤x≤1;又綈q:x≤a.因为綈p是綈q的充分不必要条件,所以a≥1.

2.已知“命题p:(x-m)>3(x-m)”是“命题q:x+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________________.

解析:命题p:x>m+3或x<m, 命题q:-4<x<1.

因为p是q成立的必要不充分条件, 所以m+3≤-4或m≥1, 故m≤-7或m≥1.

答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

2

1

解析:选B 若(2x-1)x=0,则x=或x=0,即不一定是x=0;若x=0,则一定能推

2出(2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.

1133

2.设a,b∈R,则“a>b且ab<0”是“>”的( )

abA.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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1133

解析:选A 由a>b,知a>b,由ab<0,知a>0>b,所以此时有>,故充分性成立;

ab11

当>时,若a,b同号,则ab,所以必要性不成立.故选A.

ab3.对于直线m,n和平面α,β,m⊥α成立的一个充分条件是( ) A.m⊥n,n∥α C.m⊥β,n⊥β,n⊥α

B.m∥β,β⊥α D.m⊥n,n⊥β,β⊥α

解析:选C 对于选项C,因为m⊥β,n⊥β,所以m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故选C.

4.命题p:“若x<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( ) A.p真q真 C.p假q真

解析:选B q:若x<1,则x<1. ∵p:x<1,则-1

当x<1时,x<1不一定成立,∴q假,故选B.

5.若x>5是x>a的充分条件,则实数a的取值范围为( ) A.a>5 C.a<5

B.a≥5 D.a≤5

2

2

2

2

B.p真q假 D.p假q假

解析:选D 由x>5是x>a的充分条件知,{x|x>5}?{x|x>a},∴a≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

解析:选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”. 2.(2018·舟山模拟)已知α,β∈[-π,π],则“|α|>|β|”是“|α|-|β|>cos α-cos β ”的( )

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选A 设f(x)=|x|-cos x,x∈[-π,π],则函数f(x)为偶函数.因为|α|>|β|,不妨考虑x∈[0,π],f(x)=x-cos x.因为f′(x)=1+sin x>0,所以函数f(x)在[0,π]上单调递增,所以当α>β时,α-cos α>β-cos β,即|α|-|β|>cos α-cos β,所以是充分条件;当|α|-|β|>cos α-cos β,即当α,β∈[0,π]时,α-β>cos α-cos β,所以α-cos α>β-cos β.因为函数f(x)在[0,π]上单调递增,所以α>β,

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由函数f(x)是偶函数可知|α|>|β|,所以是必要条件.故是充要条件.

3.有下列命题:

①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题;

③“若m≥1,则mx-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题; ④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( ) A.①②③ C.①③④

B.②③④ D.①④

2

解析:选C ①的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”为真,故否命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为,若mx-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m≥1. ∵当m=0时,解集不是R, ∴应有?

?m>0,?

2

??Δ<0,

即m>1.

∴③是真命题;

④原命题为真,逆否命题也为真.

4.(2018·浙江五校联考)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,其中a∈R,则“a=-3”是“l1⊥l2”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选A 由题可得,当l1⊥l2时,由a+(a+2)a=0,解得a=0或a=-3,可知“a=-3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.

5.命题“对任意x∈[1,2),x-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4 C.a≥1

B.a>4 D.a>1

2

2

解析:选B 要使“对任意x∈[1,2),x-a≤0”为真命题,只需要a≥4,∴a>4是命题为真的充分不必要条件.

6.命题“若a>b,则ac>bc(a,b∈R),”否命题的真假性为________. 解析:命题的否命题为“若a≤b,则ac≤bc”. 若c=0,结论成立.

若c≠0,不等式ac≤bc也成立. 故否命题为真命题. 答案:真

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2

2

2

2

2

2

7.下列命题:

①“a>b”是“a>b”的必要条件;②“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.

其中是真命题的是________(填序号).

//解析:①a>b? a>b,且a>b? a>b,故①不正确;

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2

②a>b?|a|>|b|,故②正确;

2

2

③a>b?a+c>b+c,且a+c>b+c?a>b,故③正确. 答案:②③

8.(2018·温州模拟)已知数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,3,…)”是“数列{an}为递增数列”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

解析:因为|an|≥an,所以an+1>an,可知数列{an}是递增数列,所以是充分条件;当数列{an}是递增数列时,取-4,-2,-1,0,…,则该数列为递增数列,但不一定满足an+1>|an|,所以不是必要条件.所以是充分不必要条件.

答案:充分不必要

9.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β; ②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;

③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直; ④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)

解析:①α内两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直线确定的平面α平行于平面β,正确.②平面α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l平行于α,正确.

③如图,α∩β=l,a?α,a⊥l,但不一定有α⊥β,错误.④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直,而该命题缺少“相交”两字,故为假命题.综上所述,真命题的序号为①②.

答案:①②

??3?3?2

10.已知集合A=?y?y=x-x+1,x∈?,2?

2?4???

“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.

3?3?272

解:y=x-x+1=?x-?+,

2?4?16

?

?,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是?

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