2017初一升初二数学暑假衔接班 自信释放潜能；付出铸就成功！
第20讲 勾股定理
一、知识梳理
（一）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a?b?c
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
1．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
222
2222（Ⅰ）S正方形ABCD?(a?b)?c?4?ab。(Ⅱ) S正方形EFGH?c?(a?b)?4?ab。
1212222∴a?b?c
222∴c?a?b.
2.勾股定理各种表达式：在Rt?ABC中，?C?90?，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
222222222则c?a?b，a?c?b，b?c?a。
a b3.勾股定理的面积表示法（如右图） c4．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）利用勾股定理解决实际问题。 （3）用于证明平方关系的问题。 （二）勾股定理的逆定理：
222
如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c ，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC中，若a?b?c，则△ABC为Rt△。
1.满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组如：3，4,5；6,8,10；···
若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先求出最大边（如c）；
②验证c与a?b是否具有相等关系。
若c?a?b，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形； 若a?b?c，则三角形是锐角三角形； 若a?b?c，则三角形是钝角三角形。
2222222222222
2
2
222二、重难点突破
1、重点：（1）勾股定理的性质和判定。（2）弄清a，b，c所对应三角形的三边。
2、难点：（1）勾股定理及逆定理的运用。（2）勾股定理相关计算和证明。
三、典例剖析
1
2017初一升初二数学暑假衔接班 自信释放潜能；付出铸就成功！
专题一：勾股定理
例1：1、（直角三角形三边关系）已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为 ．
变式训练：
2、直角三角形有两条边为3和4，问斜边长为_________.
3、已知直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边比另一条直角边长7，则该直角三角形的面积是________.
4 、△ABC中，AB=10，AC=17，BC边的高AD=8，求边BC的长。
例2．（等面积法的运用）如图已知Rt△ABC中，
A∠A=90°，AB=5，AC=12，求斜边BC上的高。 CBD
变式训练:
A5.如图已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，AC=8， D(1)求△ABC的面积。
（2）作CD⊥AB于D，求CD的长。
B（3）若点O为此Rt△ABC内一点且点O到三边的距离相等， CA 作OE、OF、OG分别垂直于AB、AC、BC，求OE的长。
E
FO
CB G A例3.（勾股定理法）如图△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15， 求面积。 CBD
变式训练：
已知△ABC中，AB=AC=9，CD⊥AB于D，BD+BC=20，求BD和BC的长？
2
2017初一升初二数学暑假衔接班 自信释放潜能；付出铸就成功！
例4：（勾股定理在折叠方面的运用） （2010山东）如图，长方形ABCD中，折痕为EF，将此长方形沿EF折叠，使点B与点D重合，已知AB=3cm ,AD =9cm .求EF的长。
EDA
CB
F
C
变式训练 1、（2010绵阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠ACB的平分线，△ACD沿AD翻折，C点落在边AB上的点F处。已知AC=6，BC=8，求DF的长。
C D ABF
2、(重庆市竞赛题)如图，长方形纸片ABCD，BC=a，AB=2a，沿对角线AC将△ADC翻折至AEC。求图中重叠部分（阴影部分）的面积。
DC
BA F
E
3、如图，已知，折叠长方形ABCD的一边AD使点D落在BC边的点F处，AB=8cm，BC=10cm，求△FEC的面积。
ADEBC
专题二：勾股定理逆定理
2、如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且DF=连结BE，EF，BF，求证△BEF是直角三角形
3
F15cm，8cm的三角形的面积是 cm。例4：1、（判定一个三角形的形状）三边长分别是17cm，
2
1CD，
A4EDFBC