解排列组合问题题型
一、知识点
排列、组合问题总原则 判断一个问题是排列问题，组合问题，还是排列与组合的综合问题，根据哪种计数原理，总的来说：
分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合，选排问题通常是先选后排。 排列数公式 组合数公式 (略) 组合数性质
（1）Cmn?Cn?mn ?m?n?, 如Cxy17?C17?x?y或x?17?y （2）Cmmm?1n?1?Cn?Cn ?m?n?. 另外C0n?Cnn?1 二、方法归纳
解排列与组合应用题常用的方法有
1、重排问题求幂法2、相邻问题捆绑法3、相隔问题插空法4、选排问题先选后排法5、直接法6、排除法7、隔板法8、多元问题分类法9、特殊元素(或位置)优先法10、定序问题缩倍法(除法)11、多排问题单排法12、不同元素的分组问题 基础训练题
1：设x?N,x?55,则：(55?x)(56?x)?(68?x)用排列数符号表示是（ c ）
A．A55?x13141368?x B．A68?x C．A68?x D．A55?x 2：Cx18?C2x?318，则x? x=3 或 7 3：若C8?C86m?1m?Cm，则m?
13.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 。 四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5. 把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？ 练习题
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 。 六.多排问题直排策略
例7. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______。
七.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种 八.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
1..计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______ 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种 九.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2. x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数 十.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法
有多少种？
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十一.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 练习题
1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 十二. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 练习题
1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女
生，则不同的选法共有_______
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任
选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
十三.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十四.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法？
练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
1
2 3
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有
5
____种
十五 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除？
例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？
十六.化归策略 例18. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
十七、.圆排问题单排法: 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：
因为旋转后可以重合，故认为相同，a1,a2,a3?,an;a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圆排列中只算一种，
n个元素的圆排列数有
n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n?1元素全排列. n4例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24?25?768种不同站法.
1mA种不同排法. mn说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
练习题
6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
课后练习：
1.将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二条轨道上，那么不同的停放方法有 种.
2. 四面体顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
种. 4
3. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙至少有一人去，则不同的选派方案共有 种 ．
4.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有 种排法.
5. 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，恰好有一个空盒的放法有 种.
6. 我校领导决定将10个市三好学生的名额分配给3个理科班，每个班至少分得两个名额， 有 种不同的分配方法。
7. 7个人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好相隔2人的站法有 种.
8. 7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有 种.
9. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个方格涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）。
10. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 种。
11. 一袋中装有大小相同，编号分别为12地每次取一个球，，，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回．．．共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的取法数共有 种
12.已知集合A=｛a,b,c｝,B=｛-1,0,1｝,建立一个从A到B的映射使f(a)+f(b)+f(c)=0,则能
建立 个符合条件的不同的映射。 13. 已知直线ax?by?1(a,b不全为零）与圆x2?y2?50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）条。
A、66 B、72 C、74 D、78
14.方程ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１２有 组正整数解.
15. 10个相同的小球放入标号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子不空，
有 种不同的放法。