离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案

第七章作业 评分要求:

1. 合计100分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置.

1 设R={|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】 (1) 求R的集合表达式(列元素法); (2) 求domR, ranR; (3) 求R?R;

(4) 求R?{2,3,4,6}; (5) 求R[{3}]; 解

(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】 (2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】 (3) R?R={<3,3>, <0,4>}【2分】

(4) R?{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】 (5) R[{3}]={3}【2分】

2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明: (1)R?(F∪G)=R?F∪R?G (2)R?(F∩G)?R?F∩R?G (3)R?(F?G)=(R?F)?G.

【本题合计18分:每小题6分,证明格式正确得3分,错一步扣1分】 证明

(1)?,

∈R?(F∪G)

? ?t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义

? ?t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律 ? ?t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy) ?对∨分配律 ? x(R?F)y∨x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义 得证

(2)?,

x(R?(F∩G))y

? ?t(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义 ? ?t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义

? ?t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律 ? ?t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律 ? x(R?F)y∧x(R?G)y 复合定义 ? x(R?F∪R?G)y ∪定义

得证

(3)?,

∈R?(F?G)

? ?s (∈R∧∈(F?G)) ?定义

? ?s (∈R∧?t (∈F∧∈G))) ?定义 ? ?s?t(∈R∧∈F∧∈G) 辖域扩张公式 ? ?t?s((∈R∧∈F)∧∈G) 存在量词交换 ? ?t(?s(∈R∧∈F)∧∈G) 辖域收缩公式 ? ?t(∈(R?F)∧∈G) 复合定义 ? ∈(R?F)?G 复合定义 得证

3 设F={|x-y+2>0∧x-y-2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.

【本题合计10分:每种性质2分----答对得1分,正确说明理由得1分】 解 F={|x-y+2>0∧x-y-2<0}={|-2∈F显然. 对称性: ?,

∈F?-2∈F. 不具有反自反性: 反例 <2,2>∈F

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