http://www.tigu.cn/question_8_570_65272_1_1_0_50046544.htm
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比． 6、（2013?资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
考点： 四边形综合题 分析： （1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN； （2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题； ②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论． 解答： （1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN． 在△ADF与△DNC中， ， 作业不会 上题谷
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∴△ADF≌△DNC（ASA）， ∴DF=MN． （2）解：①该命题是真命题． 理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD． ∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴， a， ∴AE=EC，则AE=AC=∴t==a． 则CM=1?t=a=CD， ∴点M为边CD的三等分点． ②能．理由如下： 易证AFE∽△CDE，∴易证△MND∽△DFA，∴，即，即，得AF=，得ND=t． ． ∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t． 若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形： （I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意． ∴此种情形不存在； （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴t=a，此时点F与点B重合； （III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示： 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t； 又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=． 作业不会 上题谷
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∴=a﹣t， ∴t=a，此时点F与点C重合． 综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形． 点评： 本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解． 7、（2013?宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD
的度数．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形， （3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数． 解答： 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， 作业不会 上题谷
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∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD为等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和谐线； （2）由题意作图为：图2，图3 （3）∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如图4，当AD=AC时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如图5，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． 作业不会 上题谷
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∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°． 点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 8、(2013年武汉)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
DEAD?； CFCD（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使DEAD?得成立？并证明你的结论； CFCDDE（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．
CFA
DFF ADEAF
G GG EBDE
BC BC第24题图②第24题图① C（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证
第24题图③作业不会 上题谷