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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练6 导数的应用 理
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1．已知函数f(x)＝ax＋＋(1－a)ln x.
x
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若a≤0，讨论函数f(x)的单调性．
111
解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x＋－ln x，f′(x)＝2－2－，又f′(1)＝0，f(1)＝3，所
xxx以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝3. 11－aax＋
(2)f′(x)＝a－2＋＝xx
2
－
2x
－1
(x>0)，
①当a＝0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；若a≠0，f′(x)＝ax＋
2
－2x
－1
＝0，
1
解得x1＝1，x2＝－，
a
1??1??②当－1 1???1?④当a<－1时，f(x)在?0，－?和(1，＋∞)上单调递减，在?－，1?上单调递增． a???a?x 2．已知函数f(x)＝－ln x，x∈[1,3]． 8(1)求f(x)的最大值与最小值； (2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围； xx1 解：(1)∵函数f(x)＝－ln x，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝±2， 84x∵x∈[1,3]，当1 ∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－ln 2； 219 又f(1)＝，f(3)＝－ln 3， 88 1?9?∵ln 3>1，∴－?－ln 3?＝ln 3－1>0， 8?8?∴f(1)>f(3)， 22 最新最全精品教育资料 最新最全精品教育资料 11 ∴x＝1时f(x)的最大值为，x＝2时函数取得最小值为－ln 2. 821 (2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤，故对任意x∈[1,3]， 8f(x)<4－at恒成立， 131 只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2]． 88 ?? ??? 31 8318 31 ，解得a<， 16 31??即实数a的取值范围是?－∞，?. 16??3．已知函数f(x)＝a(x＋1)＋ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a成立，求实数m的取值范围． 12ax＋1 解：(1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)． xx ①当a≥0时，恒有f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②当a<0时，若0 1 －， 2a 2 2 2 则f′(x)>0，故f(x)在?0， 若x> ??1? －?上是增函数； 2a? 1 －，则f′(x)<0， 2a 故f(x)在? ??1? －，＋∞?上是减函数． 2a? 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当a<0时，f(x)在?0， 在? ??1? －?上是增函数， 2a? ??1? －，＋∞?上是减函数． 2a? (2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]， 恒有ma－f(x)>a成立，等价于ma－a>f(x)max. 因为a∈(－4，－2)，所以 2 < 4 11－<<1. 2a2 2 2 由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数， 最新最全精品教育资料 最新最全精品教育资料 所以f(x)max＝f(1)＝2a， 所以ma－a>2a，即m 因为a∈(－4，－2)，所以－2 4．(2015·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范 3 2 2 ?3??3?围恰好是(－∞，－3)∪?1，?∪?，＋∞?，求c的值． ?2??2? 解：(1)f′(x)＝3x＋2ax，令f′(x)＝0， 2a解得x1＝0，x2＝－. 3 当a＝0时，因为f′(x)＝3x≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 2a??当a>0时，x∈?－∞，－?∪(0，＋∞)时，f′(x)>0， 3?? 2 2 ?2a?x∈?－，0?时，f′(x)<0， ? 3 ? 2a???2a?所以函数f(x)在?－∞，－?，(0，＋∞)上单调递增，在?－，0?上单调递减； 3???3? ?2a?当a<0时，x∈(－∞，0)∪?－，＋∞?时，f′(x)>0， ?3? 2a??x∈?0，－?时，f′(x)<0， 3 ?? 2a??2a??所以函数f(x)在(－∞，0)，?－，＋∞?上单调递增，在?0，－?上单调递减． 3??3??(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b， ?2a?4?2a??43?f?－?＝a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f?－?＝b·?a＋b?<0，从而 3327? ?27 ? ? ? ? a>0，?? ?43 －a a<0，?? 或?43 0 4343 又b＝c－a，所以当a>0时，a－a＋c>0或当a<0时，a－a＋c<0. 2727 43?3?设g(a)＝a－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪?1，? 27?2? ?3?∪?，＋∞?， ?2? 最新最全精品教育资料