2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．以下选项中，不一定是单位向量的有( )
①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(lg 2，lg 5)；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－x，x)． A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
2x 2＋2－x12x－
2
解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝|d|＝故选B. 答案：B
1－x
2
2
2 ≥2≠1，
2＋x＝2x－2x＋1＝
122＋≥.22
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b
1
B．a·b＝ 2D．a∥b
解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，
所以|a|＝2，|b|＝2，故|a|≠|b|，A错误；
a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；
因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确．
因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案：C
3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
9A．－
2C．3
B．0 15D. 2
解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)． 因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3. 答案：C
4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( ) πA．－
4πC. 4
πB. 63πD. 4
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝32，|a－b|＝3，
92π
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，所以α＝.
432×32答案：C
5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别 为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
→·→解析：→AC＝(－1，－3)，→AB＝(3，－1)．∵ACAB＝－3＋3＝0，∴
AC⊥A B.
→|＝10，→|＝10，又∵|AC|AB∴AC＝AB.∴△ABC为等腰直角三角形． 答案：C
6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，
b∥c，则|a＋b|＝( )
A.5 C．25
B.10 D．10
解析：由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2， |a＋b|＝ 2＋1答案：B
7．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝________.
解析：设b＝(x，y)，则由a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)可得(3x＋2,3y??3x＋2＝5，
＋1)＝(5,4)，即?
?3y＋1＝4?
2
＋1－2
2
＝10.
??x＝1，
??
?y＝1，?
所以b＝(1,1)，故a·b＝2×1＋1×1＝3且|a|＝22＋12＝5，|b|＝12＋12＝2，所以cos
a·b3310
θ＝＝＝.
|a||b|1010
310答案： 10
8．已知→OA＝(2,2)，→OB＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，→·→使APBP有最小值，则P点的坐标为________．
解析：设P(x,0)，所以→AP·→BP＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－