高三数学一轮复习讲义
一．课题：指数函数与对数函数
二．教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；
2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．
三．教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题． 四．教学过程： （一）主要知识：
1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质；
2．同底的指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数； （二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：
例1．（1）若a?b?a?1，则logbxyzx2b，logba，logab从小到大依次为 ； a （2）若2?3?5，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为 ； （3）设x?0，且a?b?1（a?0，b?0），则a与b的大小关系是 （ ） （A）b?a?1 （B）a?b?1 （C）1?b?a （D）1?a?b 解：（1）由a?b?a?1得
xyzxx2bb?a，故logb?logba?1?logab． aalgtlgtlgt，y?，z?， lg2lg3lg5 （2）令2?3?5?t，则t?1，x? ∴2x?3y?2lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)???0，∴2x?3y； lg2lg3lg2?lg3 同理可得：2x?5z?0，∴2x?5z，∴3y?2x?5z．（3）取x?1，知选（B）．
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高三数学一轮复习讲义 例2．已知函数f(x)?a?xx?2(a?1)， x?1求证：（1）函数f(x)在(?1,??)上为增函数；（2）方程f(x)?0没有负数根． 证明：（1）设?1?x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?a1?xx1?2x?2?ax2?2 x1?1x2?1x1?2x2?23(x1?x2)??ax1?ax2?， x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)?ax1?ax2?∵?1?x1?x2，∴x1?1?0，x2?1?0，x1?x2?0， ∴
3(x1?x2)?0；
(x1?1)(x2?1)xxxx∵?1?x1?x2，且a?1，∴a1?a2，∴a1?a2?0，
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，∴函数f(x)在(?1,??)上为增函数； （2）假设x0是方程f(x)?0的负数根，且x0??1，则a0?xx0?2?0， x0?1 即ax0?2?x03?(x0?1)3???1， ① x0?1x0?1x0?133?3，∴?1?2，而由a?1知ax0?1， x0?1x0?1 当?1?x0?0时，0?x0?1?1，∴∴①式不成立；
当x0??1时，x0?1?0，∴∴①式不成立．
33?0，∴?1??1，而ax0?0， x0?1x0?1综上所述，方程f(x)?0没有负数根．
x例3．已知函数f(x)?loga(a?1)（a?0且a?1）．（《高考A计划》考点15，例4）．
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求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧；
（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0． 证明：（1）由a?1?0得：a?1，
∴当a?1时，x?0，即函数f(x)的定义域为(0,??)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧； 当0?a?1时，x?0，即函数f(x)的定义域为(??,0)，此时函数f(x)的图象在y轴的左侧． ∴函数f(x)的图象在y轴的一侧；
（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1?x2，
xxax1?1y1?y2x1x2则直线AB的斜率k?，y1?y2?loga(a?1)?loga(a?1)?logax，
x1?x2a2?1xxxx当a?1时，由（1）知0?x1?x2，∴1?a1?a2，∴0?a1?1?a2?1，
ax1?1?1，∴y1?y2?0，又x1?x2?0，∴k?0； ∴0?xa2?1当0?a?1时，由（1）知x1?x2?0，∴a1?axx2?1，∴ax1?1?ax2?1?0，
ax1?1?1，∴y1?y2?0，又x1?x2?0，∴k?0． ∴xa2?1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0． （四）巩固练习：
1．已知函数f(x)?|lgx|，若
1?a?b?1，则f(a)、f(b)、f(c)从小到大依次为 c1（注：f()?f(c)） f(b)?f(a)?f(c)；
cx2．若a为方程2?x?0的解，b为不等式log2x?1的解，c为方程log1x?x的解，则a、b、
2c从小到大依次为a?c?b；
3．若函数f(x)?2
?|x?1|?m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是0?m?1．
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