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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
??1．若函数y?cos(?x?)(??0)最小正周期为，则?? .
562．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．
1?i3．若将复数表示为a?bi(a,b?R,i是虚数单位）的形式，则a?b? ． 1?i4．若集合A?{x|(x?1)2?3x?7,x?R}，则AZ中有 个元素. 5．已知向量a和b的夹角为1200，|a|?1,|b|?3，则|5a?b|? ． 6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是 7．某地区为了解70?80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 开始 组中值序号分组 频数 述统计数据的频率（Fi） 在上i （睡眠时间） （Gi） （人数） 分析中一部分计算S?0 1 6 见算法流程图，则i?1 2 10 输出的S的值为
3 20 8．设直线
输入Gi，4 10 1y?x?b是
5 4 2i?i＋1 S?S＋Gi·Fi 曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值是 9．如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC,)p在线段AO上的一点A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边点E,F，某同学已正确求得直线OE的方程为?11??11???y?0，请你完成直线OF的方程：???x?????bc??pa?N i≥5 Y 输出S y F 的顶点分别为（异于端点），AC,AB交于
A 结束 P E x C ()x????11???y?0。 ??pa?10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数为
2 3
y24 5 6
11．设x,y,z为正实数，满足x?2y?3z?0，则的最小值是
7 8 9 10 xz11 12 13 14 15 ………………
B O 精心整理
x2y212．在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆
ab?a2?M，若过P?，0?作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为
?c?13．满足条件AB?2,AC?2BC的三角形ABC的面积的最大值
14．设函数f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤。 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边?，?，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知y A B 作两个锐角A，B两点的横x 225坐标分别是，． O 105（1）求tan(???)的值； （2）求??2?的值． 16．如图，在四面体ABCD中，CB?CD，AD?BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证： （1）直线EF//面ACD。 （2）平面EFC?面BCD． B 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，F E 现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记D P C 铺设管道的总长度为ykm． D （1）按下列要求建立函数关系式： O C A （i）设?BAO??（rad），将y表示成?的函数； （ii）设OP?x（km），将y表示成x的函数； A B （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)?x2?2x?b（x?R）与两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为C． （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论． 19．（1）设a1,a2,,an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d?0，若将此数列删去
某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
a（i）当n?4时，求1的数值；
d（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
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bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． b1，b2，，20．已知函数f1(x)?3x?p1，f2(x)?2?3x?p2（x?R,p1,p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定
?f(x),若f1(x)?f2(x)的实数x，f(x)??1
?f2(x),若f1(x)?f2(x)（1）求f(x)?f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1,p2表示）；
（2）设a,b是两个实数，满足a?b，且p1,p2?(a,b)．若f(a)?f(b)，求证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为b?a（闭区间[m,n]的长度定义为n?m） 2数学附加题 21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：
ED2?EBEC． B．选修4—2 矩阵与变换 A 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2?y2?1在矩阵0,0 1))对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． C．选修4—4 参数方程与极坐标 B D C E x2在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆?y2?1上的一个动点，求S?x?y的最大值．
3D．选修4—5 不等式证明选讲 111设a，b，c为正实数，求证：3?3?3+abc≥23． abc22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记D1P??．当D1B?APC为钝角时，求?的取值范围． 23．【必做题】．请先阅读： 在等式cos2x?2cos2x?1（x?R）的两边求导，得：(cos2x)??(2cos2x?1)??? ， 由求导法则，得(?sin2x)2?4cosx(?sinx)??，化简得等式：sin2x?2cosxsinx．
122（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=C0n?Cnx?Cnx?nn?Cnx（x?R，正整数
，证明：n[(1?x)n≥2）
n?1k?1?1]??kCk． nxk?2n（2）对于正整数n≥3，求证：