二次函数之最值问题
基本解题步骤:
1.审题.读懂问题.分析问题各个量之间的关系;
2.列数学表达式.用数学方法表示它们之间的关系.即写出变量与常量之间的二次函数关系式;
?b4ac?b2?3.求值.利用二次函数关系式的顶点坐标公式??,?或配方法求得最值;
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配方法:将二次函数y?ax2?bx?c转化为y?a(x?h)2?k的形式.顶点坐标为?h,k?.对称轴为x?h.当a?0时.y有最小值.即当x?h时.y最小值=k;当a?0时.y有最大值.即当x?h时.y最大值=k.
4.检验.检验结果的合理性.(函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围)
转化数学检验?数学问题????解????问题答案 解题策略实际问题???解答? 利润最值问题:此类问题一般先是运用或“总利润=总售价-总成本”建立利润与价格之间的函数关系式.再“总利润=每件商品的利润?销售数量”求出这个函数关系式的顶点坐标.顶点的纵坐标即为最大利润.特殊地.这里要考虑实际问题中自变量的取值范围.数形结合求最值. ? 线段和或差(或三角形周长)最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和例1 例2 关键在如何将实际问题转化为数学问题 两点之间线段最短确定最短距离.这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解.特殊地.也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题. ? 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴.作一个已知点的对称点.连结另一个已知点和对称点的线段.与对称轴交于一点.这一点即为所求点.线段长即为最短距离和. ? 口诀:“大”同“小”异求最值. “大”同:求差的最大值.把点移动到直线的同侧. ? “小”异:求和的最小值.把点移动到直线的两侧.(几何最值较多) ? 线段长最值问题:根据两点间距离公式x1?x2把线段长用二次函数关系式表示出来求最值. ? 几何面积最值问题:此类问题一般是先运用三角形相似.对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系.其顶点的纵坐标即为面积最值. ? 动点产生的最值问题:数形结合求解.把路程和转化成时间和.当三点共线时有最值. 例9 例10 例6 例7 例8 例3 例4 例5
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利润最值问题
例1、一玩具厂去年生产某种玩具.成本为10元/件.出厂价为12元/件.年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次.以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍.今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍.则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0?x?1).
(1)用含x的代数式表示:今年生产的这种玩具每件的成本为_______元.今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元.
(2)求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式;
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元.求当x为何值时.今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?
注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.
解:(1)10+7x;12+6x; (2)y=(12+6x)-(10+7x). ∴y=2-x (0<x≤11); (3)∵w=2(1+x)?y =2(1+x)(2-x) =-2x2+2x+4.
∴w=-2(x-0.5)2+4.5 ∵-2<0.0<x≤11. ∴w有最大值. ∴当x=0.5时.w
最大
=4.5(万元).
答:当x为0.5时.今年的年销售利润最大.最大年销售利润是4.5万元.
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例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机.及时调整投资方向.瞄准光伏产业.建成了太阳能光伏电池生产线.由于新