二次函数之最值问题
基本解题步骤：
1．审题．读懂问题.分析问题各个量之间的关系；
2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系.即写出变量与常量之间的二次函数关系式；
?b4ac?b2?3．求值．利用二次函数关系式的顶点坐标公式??,?或配方法求得最值；
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配方法：将二次函数y?ax2?bx?c转化为y?a(x?h)2?k的形式.顶点坐标为?h,k?.对称轴为x?h．当a?0时.y有最小值.即当x?h时.y最小值=k；当a?0时.y有最大值.即当x?h时.y最大值=k．
4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）
转化数学检验?数学问题????解????问题答案 解题策略实际问题???解答? 利润最值问题：此类问题一般先是运用或“总利润=总售价-总成本”建立利润与价格之间的函数关系式.再“总利润=每件商品的利润?销售数量”求出这个函数关系式的顶点坐标.顶点的纵坐标即为最大利润．特殊地.这里要考虑实际问题中自变量的取值范围.数形结合求最值． ? 线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和例1 例2 关键在如何将实际问题转化为数学问题 两点之间线段最短确定最短距离.这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地.也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． ? 最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴.作一个已知点的对称点.连结另一个已知点和对称点的线段.与对称轴交于一点.这一点即为所求点．线段长即为最短距离和． ? 口诀：“大”同“小”异求最值． “大”同：求差的最大值.把点移动到直线的同侧． ? “小”异：求和的最小值.把点移动到直线的两侧．（几何最值较多） ? 线段长最值问题：根据两点间距离公式x1?x2把线段长用二次函数关系式表示出来求最值． ? 几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似.对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系.其顶点的纵坐标即为面积最值． ? 动点产生的最值问题：数形结合求解.把路程和转化成时间和.当三点共线时有最值． 例9 例10 例6 例7 例8 例3 例4 例5
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利润最值问题
例1、一玩具厂去年生产某种玩具.成本为10元/件.出厂价为12元/件.年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次.以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍.今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍.则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0?x?1）．
（1）用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_______元.今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元．
（2）求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式；
（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元.求当x为何值时.今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．
解：（1）10+7x；12+6x； （2）y=（12+6x）-（10+7x）. ∴y=2-x （0＜x≤11）； （3）∵w=2（1+x）?y =2（1+x）（2-x） =-2x2+2x+4.
∴w=-2（x-0.5）2+4.5 ∵-2＜0.0＜x≤11. ∴w有最大值. ∴当x=0.5时.w
最大
=4.5（万元）．
答：当x为0.5时.今年的年销售利润最大.最大年销售利润是4.5万元．
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例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机.及时调整投资方向.瞄准光伏产业.建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高.且市场占有率不高等因素的影响.产品投产上市一年来.公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上．该图象从左至右.依次是线段OA、曲线AB和曲线BC.其中曲线AB为抛物线的一部分.点A为该抛物线的顶点.曲线BC为另一抛物线y??5x2?205x?1230的一部分.且点A.B.C的横坐标分别为4.10.12．
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）； （3）前12个月中.第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
B y(万元) C
解：（1）设直线OA的解析式为y=kx. ∵点O（0.0）.A（4.-40）在该直线上. ∴-40=4k. 解得k=-10. ∴y=-10x；
∵点B在抛物线y=-5x2+205x-1230上. 设B（10.m）.则m=320． ∴点B的坐标为（10.320）． ∵点A为抛物线的顶点.
∴设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a（x-4）2-40. ∴320=a（10-4）2-40. 解得a=10.
即y=10（x-4）2-40=10x2-80x+120．
O ?404 A 11x(月)
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