量子力学试卷解答(A)

北 京 交 通 大 学

2006-2007 学年第二学期《量子力学》期末考试试卷(A)

学院__理学院___ 专业___光信息科学与技术__ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 总分

一.完成下列填空题(共50分):

1.(3分)?= h/2?? 1.05x10-34 Js 。

??2.(8分)质量为m,动量为p??k的自由粒子的平面波函数??k(r,t)?1(2??)3e??i(k?r??k2t/2m)(3分) ,相应的概率密度ρ=

1(2分),概率3(2??)????k??*??)????v。流密度j=Im((3分) mm3. (5分)描写弹性散射问题的完整波函数的渐进形式(r→∞)为

??r???Ae??ikzeikr?f(?,?)(2分),微分散射截面与散射振幅的关系是

r2?(?,?)?f(?,?)(3分) 。

?x, axp?x(2分) 是厄密算符,axp?x (a为实数) ,其中 ax?p?x4. (5分)算符ax?p(3分)不是厄密算符。

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5. (9分)在(S2,Sz)表象中,写出两个电子所有的自旋态:

?00??10?1212[?(1)?(2)??(2)?(1)](3分) ,?11??(1)?(2),(2分), ?1?1??(1)?(2)。(2分) [?(1)?(2)??(2)?(1)] (2分)?2d21?m?2x2,能量、动量和宇称三个量中,6(20)(各2分)一维谐振子H??22mdx2守恒的是: 能量和宇称,理由是 [H,H]?0,[P,H]?0 ;不守恒的是 动量 ,理由

是 [p,H]?1m?2[p,x2]??im?x?2?0 ;设谐振子处于基态,则动量的平均值是否2随时间变化?不(定态下力学量的平均值不随时间改变,

d?p1p??[p,H]?0?m?2x?0) dt?ti?,动量的平均值为:

p??0|p|0??0 ;让谐振子带上正电荷q,t =0处于基态|0>,t >0时沿x方向加

上弱恒定电场??(看作微扰),则系统可以跃迁到那些激发态??第一激发态(H??q?x,

选择定则由x??n|x|0????n1决定,即n=1)????,相应概率是2m??i?t2q2?22?tq?edt?sin()??。 3?02m?2m??t21?W10?2?1i(E1?E0)t/??Hedt??010?2t2参考公式:x|n???nn?1(|n?1??|n?1? m?22dm?nn?1|n??(|n?1??|n?1? dx?22

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二.(15分)考虑一维阶梯势V(x)???0?U0x?0x?0,若能量为E?2U0的粒子沿x

正方向入射,试求该阶梯势的反射系数和透射系数。

?ikx2mE2mU0?ikxx?0k???e?Ae???解: ???(7分)

2mU0k?Beik1xx?0k??1??2?d?在x=0处,???和?连续,有

dx1+A = B (2分), (1?A)k?Bk1(2分)

A?k?k12?12k22??(2?1)2?3?22,B???22(2?1)

k?k1k?k12?12?1k12B?42(2?1)2?0.97(2分) kR?A?(3?22)2?0.03(2分),T?2??的作用,三.(10分)设一体系未受微扰作用时只有两个能级:E01及E02,现在受到微扰H?b微扰矩阵为H????aa?,其中a和b为实数。求能量一级及二级修正值. b??解: 为非简并微扰。能量一级修正:

(1)(2分) E01??1|H?|1??b,(1)E02??2|H?|2??b(2分)

能量二级修正:

E(2)01?????H212E01?E02?H212a2?(3分) E01?E02a2??(3分)

E01?E02E

(2)02E02?E01四.?(??分)证明:在J2,Jz共同本征态|jm>下,Jx?0?

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