北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B）
（参考答案）
学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __
题号 得分 阅卷人
一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）
2??2u2?u??t2?a?x2?A,0?x?l,t?0,?? ?u|x?0?M1,u|x?l?M2,??u?u|t?0?0,|t?0?0.??t?一 二 三 四 五 六 七 八 总分 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）
?utt?a2uxx,0?x???,t?0,? ?u(x,0)?0,ut(x,0)?0,?u(0,t)??(t),limu(x,t)?0.?x???3． 设弦的两端固定于x?0及x?l，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力
作用。求弦做横向振动时的位移u(x,t)。
u(x,0) u(x,0) h 0 c
l
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[ 解 ] 问题的定解条件是
an?an?u(x,t)??(Cncosn?lt?Dnsinlt)sinlx
n?1?由初始条件可得
Dn?0, n?1,2,...
cl??hn?hn?Cn??cxsinlxdx???l?(x?l)sinxdxcl??c?0?2l =2hl2c(l?c)n2?2sinn?cl, n?1,2,...
4． 证明在变换??x?at, ??x?at下，波动方程utt?a2uxx具有形式解u?n?0，并由此求
出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题
2??2u2?u2?2a?0?x?l，t?0??t2?a?x2?sinlxsinlt，?? ?u|x?0?0,u|x?l?0??u?u|t?0?0,|t?0?0??t?[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。]
[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是sinl?n?x，其解可以表示成
u(x,t)??vn(t)sinnl?x
n?1把原问题中非齐次项
?f(x,t)?sin2l?xsin2alt按照固有函数展开成级数
?f(x,t)?sin2l?xsin2alt??fn(t)sinnl?xn?1?
因此有
??sin2alt,n?2;fn(t)?? ?0,n?1,3,4,...利用参数变易法，有
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v2(x,t)??于是
l4a?l2a??sin0t2a?l??sin2al(t??)d?l2a?2a?(2a?sinlt?tcoslt)
vn(x,t)?0,n?1,3,4,5,...u(x,t)?l4a?l2a?2a?2?(2a?sinlt?tcoslt)sinlx
6． 用Bessel函数法求解下面定解问题
2??2u?u2?u1?a(?),0?r?Rr??t22?r?r?? ?u|r?R?0,u|r?0?????ur2?u|t?0?1?R,|t?0?02??t?[ 解 ] 用分离变量法求解。令u(?,t)?R(?)T(t)，则可得
?T\(t)?a2?2T(t)?0 (I)??T'(0)?0以及
??2R\(?)??R'(?)??2?2R(?)?0 (II)??R(?)??,R(?0)?0设?n??n?0为Bessel函数J0(x)的正零点，则问题（II）的特征值和特征函数分别为
2?n2?(?)?n0Rn(?)?J0(问题（I）的解为
?n?0?)a?n
Tn(t)?Cncos于是原问题的解是
?0t
u(?,t)??Rn(?)Tn(t)??CnJ0(由初始条件
?n?0?)cos?t0a?n
u(?,0)?1?得到
?22?0
Cn??222?0J1(?n)0??0(1??22?0)?J0(?n?)d?04J2(?n)2?2nJ1(?n)?222?0J1(?n)?22?0?2nJ2(?n)?
?83?nJ1(?n)由于?n是J0(x)的零点，也即J0(?n)?0,而且又有
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