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2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 ．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 甲 乙 第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m?7，n?9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为 ．
20 638．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为
V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2? ．1：24
9．抛物线y?x在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点P(x,y)是区1
域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是 ．[—2，2 ]
10．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?212AB，BE?BC， 231
若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 ．2
11．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x?4x，则不等式f(x)?x 的解集用区间表示
为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
2x2y212．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为
ab右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，FF，
B 到l的距离为d2，若d2?y b O a c F x l 6d1，则椭圆C的离心率为 ．
3 3 13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?
1
（x?0）图x
象上一动点，若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所值为 ．1或10
14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的 2最大正整数n的值为 ．12
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，a?b． （2）??cos??cos??0?sin??sin??1①1，①2＋②2得：cos(α－β)＝－2 ． ②所以，α－β＝
22?，α＝?＋β， 33132?cosβ＋2 sinβ＝sin(＋β)＝1， ?＋β)＋sinβ＝233带入②得：sin(
??＋β＝． 325??所以，α＝，β＝．
66所以，
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，过A作AF?SB，垂足为F，
点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG//平面ABC；
S
（2）BC?SA． 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， G E 所以F为SB的中点． F 又E，G分别为SA，SC的中点， C
A所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB?面SBC，AC?面ABC， 所以，平面EFG//平面ABC． B （2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．又BC?平面SBC， 所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面SAB．又SA?平面SAB， 所以，BC?SA．
17．（本小题满分14分）
y 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4．
l A 设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线， 求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 标a的取值范围．
O x 学习必备 欢迎下载
?y?x?1解：（1）联立：?，得圆心为：C(3，2)．
y?2x?4?设切线为：y?kx?3，d＝
|3k?3?2|1?k23?r?1，得：k?0ork??．
4故所求切线为：y?0or3y??x?3．
422（2）设点M(x，y)，由MA?2MO，知：x2?(y?3)2?2x2?y2，化简得：x?(y?1)?4，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D． 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切． 故：1≤|CD|≤3，其中CD?18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行
到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从 A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的 速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA?12
a2?(2a?3)2．解之得：0≤a≤5 ．
123，cosC?． 135A
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
M （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，
B 乙步行的速度应控制在什么范围内？ N 解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
D 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
C AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
35
其中0≤x≤8，当x＝37 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． 1260126
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50 ＝5 (min)．
12614186
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5 ＋3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ． 861250
此时乙的速度最小，且为：500÷5 ＝43 m/min．
12611156
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5 －3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ．
566251250625
此时乙的速度最大，且为：500÷5 ＝14 m/min．故乙步行的速度应控制在[43 ，14 ]范围内．
19．（本小题满分16分）
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和．记bn?nSn， n2?c