圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
n圆的面积?πr2；扇形的面积?πr2?；
360n圆的周长?2πr；扇形的弧长?2πr?．
360一、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部
111分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这
246n个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．
360n比如：扇形的面积?所在圆的面积?；
360n扇形中的弧长部分?所在圆的周长?
360n?2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 扇形的周长?所在圆的周长?360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图： 弯角的面积?正方形-扇形
④”谷子”：如图： “谷子”的面积?弓形面积?2
二、 常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块、曲线型旋转问题
【例 1】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在
这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形
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面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)
BAC
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧，所以路线的总长度
为：
1202π?6??2?8π厘米；
360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积
120为：π?62??2?15?24π?15平方厘米．
360【答案】24π?15
【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如
下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，
C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点
BA经C1到C2走过的路径的长．
A2B60?Ⅰ30?AC1ⅡB1ⅢC2
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于BC为AC的一半，所以?CAB?30?，则弧CC1为大圆周长的
弧C1C2为小圆周长的
C180??30?5?，
360?121C1?CC，而C所以C点经C112即为C点经C1到C2的路径，
4515065到C2走过的路径的长为2π?20??2π?10??π?5π?π(厘米)．
1243365【答案】π
3
【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长
恰好是5cm．让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．
A1A2ⅣDEⅠABⅡCⅢDⅣEAⅠBⅡCⅢ
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所
示)．
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这三段路程分别是：
1第1段是弧AA1，它的长度是2?π?4?(cm)；
41第2段是弧A1A2，它的长度是2?π?5?(cm)；
41第3段是弧A2E，它的长度是2?π?3?(cm)；
4111所以A点走过的路程长为：2?π?4??2?π?5??2?π?3??6π(cm)．
444【答案】6π
【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳
子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)
30A301010B20C
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的
圆，B，C分别是半径为20米和10米的
3个41个圆． 4311所以羊活动的范围是π?302??π?202??π?102?
444311???π??302??202??102??
444???2512．
【答案】2512
【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，
求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)
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【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆
心角120°的扇形之和．所以答案是43.96m2．
【答案】43.96
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