如图所示，取空气所形成的抛物面顶点为坐标原点，设定坐标系roz ， z=0,r=0 时，有p=pa （圆筒顶部与大气相通）
代入方程（1）可得，C=pa 当
由此可知，圆筒容器旋转时，其内部液体的压强为：
p?pa=?g(?2r22g?z)
令
p=pa 可以得到液面抛物面方程为：z=r?2r22g （2）
下面计算抛物面与顶盖相交处圆的半径0 ，以及抛物面的高度根据静止时和旋转时液体的体积不变原则，可以得到如下方程：气体体积用旋转后的抛物面所围体积中的空气体积来计算：
z0 ，如图所示：
V筒-V气=V水 （3）其中，V筒=?R2H，V水=0.25m3 （4）
2取高度为z，厚度为dz的空气柱为微元体，计算其体积：
dV气=?rdz ，式中r为高度z处所对应抛物面半径，满足z=?2r22g，因此，气体微元体积也可表示为：
dV气=?r2dz=2?g?2zdz
z0?g?g2对上式积分，可得：V=dV=2zdz=z （5） 气?气2?20?0?联立（3）、（4）、（5）式，可得：
?R2H??g2z=0.25，方程中只有一个未知数z0，解方程即可得到：z0=0.575m 20?r=0.336m
r代入方程（2）即可得到：0说明顶盖上从半径0到R的范围内流体与顶盖接触，对顶盖形成压力，下面将计算流体对顶盖的压力N：
紧贴顶盖半径为r处的液体相对压强为（考虑到顶盖两侧均有大气压强作用）：
pe=?g(?2r22g?z0)
则宽度为dr的圆环形面积上的压力为：
dN=pedA=?g(?2r22g?z0)?2?rdr=(???2r3?2??gz0r)dr
积分上式可得液体作用在顶盖上，方向沿z轴正向的总压力：
1RN=?dN=?(???2r3?2??gz0r)dr=??[?2r4?gz0r2]r04r011=??[?2R4?gz0R2??2r04+gz0r02]
4411=3.14?1000?[?102?0.44?9.8?0.575?0.42??102?0.3364+9.8?0.575?0.3362]44=175.6N由于顶盖的所受重力G方向与z轴反向，因此，螺栓受力F=N-G=175.6-5*9.8=126.6N
13、一块面积为90×180的长方形平板浸没在水中，如图所示，求水作用在平板AB上的总压力的大小和压力中心的位置。 解：作用在平板AB右侧的总压力大小：
R1.8)?1.8?0.9=33657N 2ICx总压力F的作用点D位于平板AB的中心线上，其距离液面的高度y=y+
DCyCAF=?ghCA=1000?9.8?(1.22+bL30.9?1.831.8==0.4374 ，为形心的惯性矩。因此，可计算出： =2.12m为形心距离液面的高度， ICx=式中yC=hC=1.22+12122I0.4374yD=yC+Cx=2.12+=2.247m
yCA2.12?1.8?0.9 6 / 20
14、 把2-23题中的平板AB和水平面成45°角放置于水下图2-58中的CD位置上，试求水平作用在平板上的总压力和总压力作用点的位置。 解：选取坐标轴如图所示：
作用在平板CD左侧的总压力大小为
F??ghA?1000?9.8???0.91????1.8sin45????1.8?0.9?24550.6N2?
总压力F的作用点设为N，其位于平板CD的中心线上，距离O点的长度
yN?yc?IcxAyc,
0.911.8??2.19m 为形心距离O点的长度，
sin45?2bL30.9?1.83Icx???0.4374m 为形心的惯性矩。
1212Icx0.4374因此，可计算出yN?yc??2.19??2.31mAyc2.19?0.9?1.8
其中
yc?
15、 如图2-59所示，一铰链固定的倾斜式自动开启的水闸，水闸和水平面的夹角为60°，当水闸一侧的水位H=2m，另一侧水位h=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至闸门下端的距离x。 解：
设水闸宽度为b，水闸左侧水淹没的闸门长度为l1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l2。作用在水闸左侧压力为 (1) 其中
则
(2)
作用在水闸右侧压力为
(3) 其中
则
(4)
由于矩形平面的压力中心的坐标为 (5)
所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为 (6)
水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为 (7)
对通过O点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d1，则 (8) 得
(9)
设水闸右侧的力臂为d2，则 (10) 得
(11)
当满足闸门自动开启条件时，对于通过O点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此 (12) 则
(13)
16、试画出2-60中曲面AB弱受液体总压力的垂直分力对应的压力体，并标出垂直分力方向。 解：
作图原则：
（1）题目：首先找到曲面边界点和自由液面水平线，从曲面边界点向自由液面作垂线，则自由液面、垂线、曲面构成的封闭面就是压力体。本题目中是虚压力体。力的方向垂直向上。 （2）题目：将与水接触的曲面在圆的水平最大直径处分成两部分，对两部分曲面分别采用压力体的做法进行作图，上弧面是实压力体，力的方向垂直向下，下弧面是包括两部分实压力体，力的方向垂直向上。求交集即可得到最终的压力体。
17、 一扇形闸门如图所示，圆心角α=45o，闸门右侧水深H=3m,求每米所承受的静水总压力及其方向。 解：由几何关系可知，水平方向的总压力：
r=H=32
sin?Fpx=?ghCAx=?g垂直方向的总压力：
H1H?1=1000?9.8??32=44100N22
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等于压力体内的水重量，该压力体为实压力体，垂直分力方向向下：
???1??1?Fpz=?Vg=?g?[r?(r?rcos?)]H??r2??1=?g?[1?(1?cos?)]rH??r2?360360?2??2?45?1? =1000?9.8???[1?(1?cos45)]?32?3??3.14?(32)2?360?2?=11417N说明：绘制压力体如图所示，则易知压力体的体积等于（梯形面积-扇形面积）*闸门长度 则作用在扇形闸门上的总压力为：
22Fp=Fpx+Fpz=441002+114172=45553.9N
设总压力与水平方向的夹角为
? ，则
tan?=FpzFpx=11417=0.259 ，所以?=arctan0.259=26.504410018.一球形盛水容器如图所示，下半球固定，上半球用螺栓和下半球固定在一起，球体的直径d=2m，试求上半球作用于螺栓上的力。 解：
分析：将细管中的液面作为自由液面，球形容器的上表面圆周各点向自由液面作垂线，则可以得到压力体。液体作用于上半球面垂直方向上的分力即为上班球体作用于螺栓上的力，方向向上。 压力体的体积可以通过以直径d的圆为底面，高为d/2的圆柱体体积减去半个球体的体积得到。即
1d14?d?1Vp=V柱?V半球=?d2??????=?d3
4223?2?24因此，液体作用于球面垂直向上的分力为：
3Fpz=?Vpg=11?g?d3=?1000?9.8?3.14?23=10257.3N2424
19、 如图2-64所示，盛水容器的底部有一圆形孔口，用重G=2.452N、半径r=4cm的球体封闭，孔口的直径d=5cm，水深H=20cm，试求提起该球所需的最小力F。 解：压力体分析如右图所示，其中V1为对应是压力体的体积，V2为两边虚压力体体积， 根据受力分析得一下平衡式：
已知H=0.2m，d=0.05m，r=0.04m，G=2.452
V1
F1
F2 G h 计算得：F=4.101N
20、图2-42所示为双液式微压计，A、B两杯的直径均为d1=50mm，用U形管连接，U形管直径d2=5mm，A杯盛有酒精，密度ρ1=870kg/m3，B杯盛有煤油，密度ρ2=830kg/m3。当两杯上的
V2 V2 压强差Δp=0时，酒精煤油的分界面在0—0线上。试求当两种液体的分界面上升到0’—0’位置、h=280mm时Δp等于多少？ 解：ΔP=0 时:ρ1H1=ρ2H2
ΔP 时:P1+ρ1g(H1-ΔH-h)=P2+ρ2g(H2+ΔH-h) ΔH=(d2/d1)2h=(0.005/0.05)2×0.28=0.0028 m ΔP=P1-P2=gΔH(ρ1+ρ2)+gh(ρ1-ρ2)
=9.80665[0.0028×(870+830)+0.28×(870-830)] =9.80665(4.76+11.2)=156.5 Pa
21如图2-46所示，一正方形容器，底面积为b×b=200×200mm2，质量m1=4kg。当它装水的高度h=150mm时，在m2=25kg的载荷作用下沿平面滑动。若容器的底与平面间的摩擦系数Cf=0.3,试求不使水溢出时容器的最小高度H是多少?
解：f=(0.2×0.2×0.15×1000+4) ×9.80665×0.3=29.42 N
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22、如图2-44所示，两U形管测压计和一密封容器连接，各个液面的相对位置尺寸分别为：h1=60cm，h2=25cm,h3=30cm,试求下面的U形管左管中水银液面距容器中自由液面的距离h4为多少？
解 如图所示，分别在等压面2-4 1-3列平衡方程
m2g?f25?9.80665?29.42a???6.1642P?P??gh?P?P??gh25?4?6m2?m1?mw2a水14a水银2 ①
m/s2P1?Pa??水gh4?P3?Pa??水银gh3 ②
水银12
联立求得 代入② 求得
23、如图2-45所示，如果要测量两个容器的压强差，将U形管的两端分别和两个容器连接起来，若已测出度差
?h/h?60/25?2.4a?H?hab6.1642?0.1??H??h??0.15?0.181gh4?b0.72m2g2?9.806652
mU形管两只管的水银液面的高水银的密度
h?200mm及A B两点的高度差hs?100mm,油的密度?1?830kg/m3，
3，试求A,B两点的压强差为多少？如果
?2?13600kg/mgs?0时，A,B两点的压强差与h的关系怎样？
解（1）如图示，在等压面
2-45 习题2-9用图 1-2列平衡方程
P1?PA??1g(h?x) ①
P2?PB??2gh??1g(hs?x) ②
因为 所以由①②得
P1?P2
PA?PB?g(?2h??1hs??1h) ③
?g(13600?200?10?3?830?100?10?3?830?200?10?3) ?25.86KPa
（2）若
hs?0由③得
PA?PB?gh(?2??1)
h1=60cm，h2=51cm，油的密度
24、如果两容器的压强差很大，超过一个U形管的测压计的量程，此时可以将两个或两个以上的U形管串联起来进行测量，如图2-46所示。若已知
ρ1=830kg/m3，水银的密度ρ2=13600kg/m3。试求A、B两点的压强差为多少？
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图2-46 习题2-10用图 解 如上图所示，设两段距离
h3和h4。图中1-1、2-2、3-3和4-4均为等压面，根据流体静压强计算公式，可以逐个写出每一点的静压强，分别为
p1?pA?ρ1g(h1?h3) p2?p1?ρ2gh1
p3?p2?ρ1g(h2?h4?h3) p4?p3?ρ2gh2
pB?p4?ρ1gh4
将上述式子逐个代入下一个式子，得
pB?pA?ρ1g(h1?h3)?ρ2gh1?ρ1g(h2?h4?h3)?ρ2gh2?ρ1gh4
整理后可得到A、B两点的压强差：
pA?pB?ρ2gh1?ρ2gh2?ρ1gh1?ρ1gh2
?13600?9.806?0.6?13600?9.806?0.51?830?9.806?0.6?830?9.806?0.51 ?139.0kPa
325、如图所示，若已知容器内流体的密度为870kgm，斜管一端与大气相通，斜管读数为80cm，试求B点的计示压强为多少？
解 B点的绝对压强为
p?pa??gLsin20?
B点的计示压强为
pe?p?pa??870?9.8?0.8?sin20???2333?a
26、 图2-48所示，若A、B两容器用管道相连接，A容器内装油，B容器内装水，两容器的自由液面的高度差为10cm，油的密度为由液面的深度为多少？
800kg/m3。试求油与水的分界面距离A容器内自
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