小学数学奥数基础教程(三年级)--29

小学数学奥数基础教程(三年级) --第29讲

本教程共30讲

第29讲 一笔画(二)

利用一笔画原理,我们可以解决许多有趣的实际问题。 例1 右图是某展览馆的平面图,一个参观者能否不重复地穿过每一扇门?如果不能,请说明理由。如果能,应从哪开始走?

分析与解:我们将每个展室看成一个点,室外看成点E,将每扇门看成一条线段,两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连,于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题,变为右图是否一笔画问题。 右图中只有A,D两个奇点,是一笔画,所以答案是肯定的,应该从A或D展室开始走。

例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题,就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。

例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示,图中的数字表示各条街道的千米数,他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短?全程多少千米?

分析与解:图中共有8个奇点,必须在8个奇点间添加4条线,才能消除所有奇点,成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线,如左上图中虚线所示,共添加4条连线,这4条连线表示要重复走的路,显然,这样重复走的路程最短,全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。

例3右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点,不许走重复路,他最多能走多少米?

分析与解:这道题大多数同学

都采用试画的方法,实际上可以用一笔画原理求解。首先,图中有8个奇点,在8个奇点之间至少要去掉4条线段,才能使这8个奇点变成偶点;其次,从A点出发到B点,A,B两点必须是奇点,现在A,B都是偶点,必须在与A,B连接的线段中各去掉1条线段,使A,B成为奇点。所以至少要去掉6条线段,也就是最多能走1800米,走法如下页上图。或

例2与例3的图中各有8个奇点,都是通过减少奇点个数,将多笔画变成一笔画的问题,但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段,没有要求不能重复,所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路),将奇点变为偶点,使多笔画变成一笔画。而在例3中,要求不能走重复的路,所以不能添加线段,只能通过减少线段的方法,将奇点变为偶点,使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走!能“重复”就“添线”,不能“重复”就“减线”。

例4在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图),它们比赛看谁能爬过所有的棱线,最终到达终点D。已知它们的爬速相同,哪只蚂蚁能获胜?

分析与解:许多同学看不出这

是一笔画问题,但利用一笔画的知识,能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱,没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同,如果一只不重复地爬遍所有的棱,而另一只必须重复爬某些棱,那么前一只蚂蚁爬的路程短,自然先到达D点,因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E,D两个奇点,所以从E到D可以一笔画出,而从B到D却不能,因此E点的蚂蚁获胜。

练习29

1.邮递员要从邮局出发,走遍左下图(单位:千米)中所有街道,最后回到邮局,怎样走路程最短?全程多少千米?

2.有一个邮局,负责21个村庄的投递工作,右上图中的点表示村庄,线段表示道路。邮递员从邮局出发,怎样才能不重复地经过每一个村庄,最后回到邮局?

3.一只木箱的长、宽、高分别为5,4,3厘米(见右图),有一只甲虫从A点出发,沿棱爬行,每条棱不允许重复,则甲虫回到A点时,最多能爬行多少厘米?

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