5. 中上 (1分)设lj(x)(j?0,1,2...n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则lj(xi)=（ ）(i,j?0,1,2...n)；
。 ?l(x)?（ ）
jj?0n6. 易 (1分)l0(x),l1(x),?,ln(x)是以0,1,...,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则
?il(x)?( ).
ii?0n7. 难 (1分)满足f?xa??xa，f?xb??xb，f?xc??xc的拉格朗日插值余项为 。
简答题
1. 易 (8分)令x0?0,x1?1，写出y(x)?e的一次插值多项式L1(x)，并估计插值误差。 2. 易 (10分)设函数f(x)?用它计算x??x1，试写出它在插值节点组?1,0,1上的插值多项式，并21?x1处之值。 33. 中下 (10分)给定(x,f(x))的一系列离散点(1,0),(2,?5),(3,?6),(4,3)，试求Lagrange
插值多项式。
4. 中 (10分)当x?1,?1,2时，f(x)?0，?3,4，求f(x)的二次插值多项式。 5. 中 (8分)利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1）
xi -1 0 1/2 1
（2）
fi -3 -1/2 0 1 xi fi 4-1 -3/2 0 0 1/2 0 1 1/2 6. 难(10分)设f(x)?x?2x?1，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点的
三次插值多项式。
7. 中 (10分)已知f(?1)?2,f(1)?3,f(2)??4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1.5)的近似值，取五位小数。
8. 易 (10分)已知
xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）.
9. 易 (10分)用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34。插值节点和相应的函数值如下表。
xi yi?f(xi) 0.0 0.30 0.40 0.0 0.2955 0.3894 10. 中 (10分)用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 11. 中上(10分)已知
xi f(xi) -1 2 4 5 -2 4 5 7 (1) 用拉格朗日插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)； (2) 求x， 使f(x)=0。
12.难 (10分)用余弦函数cosx在x0?0,x1??4,x2??2三个节点处的值写出二次
Lagrange插值多项式函数, 并近似计算cos?6及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。
证明题
1. 易 (10分)证明：由下列插值条件：
x 0 －1 f(x) 1 23－ 41 0 3 25 42 3 5 221 4所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式。该例说明了什么问题？
2. 中 (10分)设l0(x),l1(x),?,ln(x)是以x0,x1,?,xn为节点的n次多项式插值问题的基
函数.
（1）证明
?xi?0nkiil(x)?xk,k?0,1,2,?,n.
（2）证明
l0(x)?1?x?x0(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)L(x?xn?1)??L?x0?x1(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)L(x0?xn)(n)a?x?b3. 设f(x)?C[a,b],Mn?max|f(x)|，若取
xk?a?bb?a2k?1?cos?,k?1(1)n， 222nMn(b?a)n作节点，证明Lagrange插值余项有估计式maxR(x)?。 2n?1a?x?bn!2
2.3 牛顿插值 选择题
1. 易 (1分)已知f(x)?8x?3x?4x?2x?5，则差商f[7,7,L,7]为（ ）。
8532142439个A、7 B、8 C、0 D、1
2. 易 (1分)设p(x),N(x)是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日，牛顿插值多项式，
它们的插值余项分别为r(x),R(x)，则（ ）。
A、p(x)?N(x),r(x)?R(x) B、p(x)?N(x),r(x)?R(x) C、p(x)?N(x),r(x)?R(x) D、p(x)?N(x),r(x)?R(x) 3. 中下(1分)f(x)??3x?50x?7x，差商f[1,2,2,L,2A、0 B、-3 C、50 D、-7
2994. 中下(1分)设f(x)??3x?5x?7，均差f??1,2,2,?,2??=( ) .
999962100]?（ ）
A、3 B、 -3 C、 5 D、0 5. 中 (1分) 设均差表如下 序号 0 1 xi 1 3 f(xi) 0 2 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 4 7 15 12 13 -1 4 -7/2 -5/4 那么均差f (1，3，4)＝( )
A. 4 B. －5/4 C. (15－0)/(4－1)＝5 D. (13－1)/(4－3)=12
填空题
1. 易 (4分)f(x)?2x?5,则f[1,2,3,4,5]?（ ），f[1,2,3,4,5]?（ ） 2. 易 (3分)设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46，则f[0,1]?（ ），f[0,1,2]?（ ），f(x)的二次牛顿插值多项式为（ ）。 3. 易 (1分)已知函数表
3xi f(xi) 0.2 0.3 0.4 0.04 0.09 0.16 则一次差商f[0.2,0.4]?（ ）。
0154. 中下 (2分)已知f(x)?5x?3x?x?7，则差商f[2,2,L,2]=（ ），
52f[50,51,L,56]?（ ）。
5. 中 (1分)已知f(?1)?2,f(0)?1,f(2)?3则f[?1,0]=（ ），
，f[?1,0,2]?（ ），牛顿二次插值多项式N2(x)?f[0,2]=（ ）（ ）。 6. 中下(4分)已知f(0)?1,f(1)?3,f(2)?5,则均差f[0,1,2]?（ ），对应于
x0?0插值基函数l0?x??（ ）。
227. 中 (2分)已知某函数的二阶向前差分?f1为0.15,则其二阶向后差分?f3为
（ ）。
8. 中上 (2分)利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t，其计算公式
为t =（ ）。 9. 中(1分)设f(0)?0,f(1)?16,f(2)?46,则l1(x)=（ ），f(x)的二次牛顿插
值多项式为（ ）。
10. 易(3分)已知f(0)?0,f(1)?6,f(2)?12,则f[0,1]?（ ）,f[0,1,2]?（ ），逼近f(x)的Newton插值多项式为:（ ）。
11. 易(1分)已知函数f?x?的函数值f?0?,f?2?,f?3?,f?5?,f?6?，以及均差如下
f?0??0,f?0,2??4,f?0,2,3??5,f?0,2,3,5??1,f?0,2,3,5,6??0 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 12. 中 (1分)二阶均差f (x0, x 1, x2) = _________________________________． 13. 易 (1分)设f(x)?x3?x?1，则差商f?0, 1, 2, 3?=__________. 14. 中 (1分)设一阶差商f(x1,x2)?f(x2)?f(x1)1?4???3，
x2?x12?1f(x2,x3)?f(x3)?f(x2)6?15??
x3?x24?22 则二阶差商f(x1,x2,x3)?
215. 中下 (1分)设 f(x)?3x?5,xk?kh,k?0,1,2,? ，则f[xn,xn?1,xn?2]?_____
和f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]?_____ 16. 难 (1
分)
f(x)的向前差分形式的
Newton
插值多项式
Nn(x0?th)= 。
n17. 难 (1分) 若yn?2,则?yn? ,?yn? 。
是非题
1. 易 (1分)牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值
的结果。 ( ) 2. 易 (1分)利用等距节点的牛顿插值公式计算x0附近的f(x)，用后插公式。 ( ) 3. 易 (1分)向前差分与向后差分不存在等量关系。 ( ) 4. 易 (1分)在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。 ( )
5. 中 (1分)牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )
简答题
1. 易 (11分)若f(x)??n?1(x)?(x?x0)(x?x1)L(x?xn),xi(i?0,1,L,n)互异，求
f[x0,x1,L,xp]的值，这里p?n?1.
0182. 易 (10分)若f(x)?x?x?3x?1，求[2,2,L,2]和f[2,2,L,2]
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