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新概念力学习题集
第一章
1-1 已知质点沿x轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x和t的数值关系为
x?3sin?6t，求t=0,3,6,9,12 s时质点的位移、速度和加速度。
解：位移?x?x(t)?x(0)?3sin?6t，速度v?dx???cost，加速度dt26dv?2?： a???sint，对于不同的时刻，相应的?x、v、a值见下表（长度单位设为米）
dt126t (s)
0 3 6 9 12
?x(m) 0 3 0 -3 0
v(m/s) ?/2 0 -?/2 0 ?/2
a(m/s2) 0 2
-?/12 0 2
?/12 0
1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =R( cos?ti+sin?tj )
求(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解（1）x?Rcos?t,y?Rsin?t,x?y?R,?质点轨迹是圆心在圆点的圆
222????drv???R(?sin?ti?cos?tj)dt （2） ????dv?a????R(cos?ti?sin?tj)???2r 方向恒指向圆心dt
1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为
r =4t2i+(2t+3)tj
求(1)质点轨迹，(2)从t=0到t=1的位移，(3)t=0和t=1两时刻的速度和加速度。
解（1）x?4t,y?2t?3,x?(y?3)故x≥0，y≥3,质点轨迹为抛物线的一段（见右图）
???????????r(0)?3j,r(1)?4i?5j,?r?r(1)?r(0)?4i?2j,大小为?r?42?22?25m.(2)? ??12?4i?5j与x轴夹角??tg?26.6422?????dv????dr?v??8ti?2j,a??8i.a?a?8m/s2方向沿x轴正向v(0)?2j,大小为dtdt(3)
?????v(0)?v(0)?2m/s,方向沿y轴正向;v(1)?8i?2j,大小v(1)?v(1)?82?22?27m/s方向：与x轴夹角??tg?12?14? 81-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在?t1=4.0s内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第n节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔?tn为多少。令n=7，求?tn．
解：火车初速v0?0，加速度为a，每节车厢长为l，第一节车厢经过观测者所需时间为
?t1?t1?4s,l1?l?12at1，第1至n节车厢经过观察者所需总时间为tn，显然： 2新 概 念 力 学 习 题 集 第 2 页
ln?nl?12l2atn?2tn?tn?nt1?n?t1，故第n节车厢经过者所需时间为： 2t1?tn?tn?tn?1?(n?n?1)?t1?4(n?n?1)
令n?7??t7?4?(7?6)?0.785s
1-5 一球从高度为h处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度v0上抛。v0多大时两球在h／2处相碰?
解：[法一]：因两球的重力加速度均为g朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间为t=
hh12hg(∵?gt).等价地，相当于下球以v0??2212h?s?gt???下22?t?[法二]：?1h?s?vt?gt2?0上?22?tgh。
hh,v0t?h,?v0??gh. gt
1-6 一球以初速v0竖直上抛，t0 s后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。两球在多高处相遇?
2111gt,t?t??t0,y?v0t?gt2,令y?y??t??v0/g?t0222解： 2v012?y?y??gt02g8y??v0t??
1-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离?s所用的时间为?t1，紧接着走过下一段距离
2?s?t1??t2
?t1?t2?t1??t21122证明：?s?v0?t1?a?t1 (1) 2?s?v0(?t1??t2)?a(?t1??t2) (2)
2211?s1?a?t2) ?(?t1??t2)(v0?a?t1?a?t2)?(?t1??t2)(22?t12?s(?t1??t2)12?s?s2?s?t1??t2?a?t2??? ?a?
2?t1??t2?t1?t1(?t1??t2)?t1?t2?t1??t2?s所用的时间为?t2，试证明，物体的加速度为 a?
1-8 路灯距地面的高度为h1，一身高为h1的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2 解：?x2?x1h2xdxh1??1?1,1?v1 ?x2?x1 x2h2x2dth1?h2dxh1dx1h1dxv2?2??v1?v1?a2?2?0.?人影的顶端作匀速运动。
dth1?h2dth1?h2dt
1-9 设?为由炮位所在处观看靶子的仰角，?为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan? =2tan?
22v0sin2?v02sin?cos?1解：ym? xm?
2g22g新 概 念 力 学 习 题 集 第 3 页
?tg??
1-10 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30?、60?为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求A、B两点之间的距离。已知小球A的初速为vA0=9.8m/s．
22vAsin2300vBsin2600300解： ym??vB0?vA0 (1) ?ym32g2gym1sin?1??tg? 或：tg??2tg? 12cos?2xm2AB?
111220xmA?xmb?(vA0sin2?300?vBsin2?60)0222gv2A032xmA/2xmB/2 习题1-10
31?(?2g239.8232)????2.83m2?9.823
1-11 飞机以v0=100m/s的速度治水平直线飞行，在离地面高h=98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远?(2)物品投出1s后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?
?x?v0t?vx?v0???解：（1）?12 由：y?h?t?v?gty?gt?y?2?2h2h,s?x?v0 gg?s?100?tg??2?9.8?2005?447.2m9.8s22?v0,??tg?1(100?)?77.64??77?38?24?? hgh98?9.8222v?vx?vy?v0?g2t2.t?1s.(2) at?gcos??g?vyv?g?gt2v0?g2t2?9.82?11002?9.82?12?0.96m/s2
an?gsin??g?2vxv09.8?100?g???9.75m/s22vv0?g2t21002?9.82?122v2 又：an?g?at?
Rv3(1002?9.82?12)??1035.1m 故t=1s时的曲率半径为R?gv09.8?1001-12 已知炮弹的发射角为?，初速为v0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。
222?vy?v0?2gy 解： vx?v?cos??常数，vy?v0sin??gt,a??g v?vx2gvyg2vygvdv12vy(?g)v2g2222at???? an??a?at?g?2?v?vy?x22dt2vxv?vvv?vy
v312????(v0?2gy)2gvxv0gcos?
1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点，下落高度h=0.20m，斜面与水平夹角
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?=30?．问弹性球第二次碰到斜面的位置B距A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。 解：v0?agh 取 xy坐标轴如图。 dx1vx??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)
dt2112?x?(vt?gt)0?dy322?vy??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)??
dt2?y?3(vt?1gt2),0?22?222v02v014v02v01由 y?0?t??AB?x?(v0??g?2)??4h?4?0.20?0.80m
g2g2gg
1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度at=3.00m/s2，圆的半径R=300m．问经过 多少时间物体的加速度a恰与半径成40?夹角。
dvv2at2t2?at,v?att,an??解：??45.此时 at?an?t?dtRR?R?att(s) 2 3 4
300?10s 3.00V测物(m/s) 9.8 (快) 0 （不动） -9.8 （慢）
1-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为v0=49.0m/s，而气球以速度v=19.6m/匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？
解：v物?v0?gt?49?9.8t v测物?v物?v?29.4?9.8t
第二章
2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g?cm/s的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g?cm/s的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。
解: 衰变过程是: A?B?e?ve. 由动量守衡得 PB?Pe?Pv?0. ∴
?PB?PB??Pe?Pv?Pe?Pv?9.222?5.332?10?16g?cm/s?10.65?10?16g?cm/s.
方向:??tg?122PvPe?tg?15.33???????30?.??180?30?150. ??90?30?120. 9.22
2-2 质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m，速率为v0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求(1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。
解:(1)设木块的速率为v,由动量守衡:mv0?(M?m)v.
mMmm2故v?v0. 木块的动量p木?mv?v0.子弹的动量p子?mv?v0.
M?mM?mM?mMm (2)子弹施予木块的动量I木?P木?0?v0.
M?m
2-3 如本题图，已知绳的最大强度T0=1.00kgfm=500g, l=30.0cm，开始时m静止。水平冲量
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I等于多大才能把绳子打断？
T0?mgT?mgv2?T0?mg?v?l. I?mv?0?I?m0l 解:向心力F?memm故I?m(T0?mg)l?[500?10?3(1?9.8?500?10?3?9.8)?30.0?10?2]12?0.86kg?m/s
习题2-4 习题2-3
2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m1，设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2。设子弹在木块中所受阻力为恒力f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动。
解:当子弹穿出m1时, m1与 m2一起运动,故 ft1?(m1?m2)v1; v1? 当子弹穿出m2时, ft2?m2v2?m2v1 v2?v1?ft1.
m1?m2ft2ft1ft??2. m2m1?m2m2
2-5 质量70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg．若渔人在船上向船头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？
解:设人向右走,对岸速度为ｖ人,相对船的速度为ｕ人,船向左行,对岸的速度为ｖ船,,
则ｖ人=-ｖ船+ｕ人.水平方向动量守恒:ｍ船ｖ船-ｍ人(-ｖ船+ｕ人)= (ｍ船 +ｍ人) ｖ船-ｍ人ｕ人=0. 两边积分得:(m船?m人)v船dt?m人0?t?u0tt人dt?(m船?m人)S船?m人S人对船
?S船? S人?m人m船?m人t0S人对船?70?4?1.4m. (对岸上) 200?t0v人dt??v船dt??u人dt??S船?S人对船??1.4?4?2.6m.(对岸).
0
2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s．设甲船空载质量为50kg，货物质量为60kg，求乙船质量。
解: m甲=500kg,m货=60kg,m乙 待求.v0=6.0m/s,v乙=4.0m/s. 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其动量守衡.即: (m甲+ m货)v0-m乙v0=m甲v0-( m乙+m货)v?m乙?v0?v乙6?4m货??60?300kg.
v0?v乙6?4
2-7 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速率均为v．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。
解:设v前、v中、v后分别为前、中、后三船的待求速度.u与v同向时为正,反之为负,由水平方向的动量守衡定律,有:
前:Mv?m(v中?u)?(M?m)v前
中:Mv?(M?2m)v中?m(v中?u)?m(v中?u) 后:Mv?m(v中?u)?(M?m)v后 可推出: v前=v?mmu v中=v v后=v?u
M?mM?m∵u的正方向与v同向,∴三船的速率分别为: