新概念力学习题解(黎草稿)

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11mgl(1?cos?)??2 32mgl令 U?'?mgl?0???0, U?''?mgl?0 ?? 则U有极小值也是最小值,故体系是在??0处是平衡位置,且是稳定的从而

d2U?mglmgml''? T ?2??2? ???U0''gU0ldx2l2 [势能法] Ep?U?3?

6-13 如本题图,质量为M的平板两端用劲度系数均为◇的相同的弹簧连到侧壁上,下垫有一对质量各为m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后,圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗? 周期是多少? 解: [受力分析法]

?f上?f下?mac?1..ac?r??x?33..11..?2对圆柱:? ?f上?mr??mx, f下??mr???mx (f上?f下)r?Ic?4848?12?I?mrc?2?....3..3对平板:Mx??2kx?2f上??2kx?mx?(M?m)x?2kx?0

44故系统作简谐振动?? [能量分析法] 系统势能Ep?2k 周期是T?2??2??M?3m/4M?3m/4

2k12121kx?kx?(2k)x2 即相当于劲度系数为2k?k'的谐振子 222?.21113Ep?Mx?2(mvc2?Ic?2).2?13?动能相当于谐振子质量为M?m?m' 222?(M?m)x?41.24?vc?r??x?2? ?? ?k'?m'2k2?M?3m/4 T??2?

M?3m/4?2k

6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上,且相距2l,,两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一匀质木板,木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为?,设?为常数。把处在平衡位置的木板略加触动,(1)试证明木板的运动是简谐振动,并确定其固有角频率;(2)若两圆柱体的转动方向都反向,木板是否仍作简谐振动? 解:(1) 对o1点,Mg(l?x)?2lN2 对o2点,Mg(l?x)?2lN1 ?N1?l?xl?xMg N2?Mg 2l2l..l?xl?x? ?)Mg??Mgx2l2ll..?g?g 即x? x?0 故木板作简谐运动,其固有角频率为 ??ll....??g (2) 两圆柱转动返回时,有 Mx?f2?f1?Mgx 即 x?x?0

ll 木板的运动方程为 Mx?f1?f2??(N1?N2)??( 木板不作简谐振动,而是向右(或向左)滑出。

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6-15 竖直悬挂的弹簧振子,若弹簧本身质量不可忽略,试推导其周期公式:

T?2?M?m/3,式中m为弹簧的质量,k为其劲度系数,M为系于其上物体的质量(假k定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加)。 解: 弹簧的运动比较复杂,较严格的分析可参见: (1) 罗蔚茵,《力学简明教程》,广州,中山大学出版社,1985,340~346

(2) 钱伯初,美国研究生考题分析(三)——近似处理,大学物理,1983年第3期,第

28页,例1。

本题以文献[2]的近似方法来处理:设弹簧上各点随物体M作同相位振动。M的位移为x (似右图中的平衡位置为原点向下为正)。速度为x ,则弹簧+物体这一系统的势能为: U(x).2112?kx 物体的动能为 Ek物?Mx

22.. 假定弹簧的质量均匀地连续分布,它上面各点的速度均匀地从O点变到x,对弹簧上的y点,其速度即为 v(y)..y?x (设某时刻x一定,与y无关) l0?l0'?x则v(y)平方的平均值为 v2(y)l0?l0'?x1x2?vdy?l0?l0'?x?0(l0?l0'?x)3.2?l0?l0'?x01.2ydy?x

32 ?弹簧的动能Ek弹簧121.2?mv(y)?mx 26

6-16 三个质量为m的质点和三个劲度系数为k的弹簧串联在一起,紧套在光滑的水平圆周上(见本题图)。求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。 解: ?d2s1?m2??2ks1?ks2?ks311??a1????2???dt2??r?1?ds2??21??a2??0

??m2?ks1?2ks2?ks3 si?aicsin(?t??),??m?1?a??dt1??2?2???3??mds3?ks?ks?2ks123?dt2???2 由:

111??(??3)2?0??1?0,?2??3?11??21??23k m 讨论:(1)?1?0?a1?a2?a3 体系各质点给圆心作纯转动

3k?? 要求 AnAp??np n,p?2,3 A(a1,a2,a3)可解得: m1?对?: a?0,a?-a??2123??2

(Ⅰ)??对?3: a1??2,a2?a3??1a1?32??21111对?: a?sin?,a?cos??sin?,a??cos??sin??2123?32626(Ⅱ)?

21111?对?: a?cos?,a2?sin??cos?,a3??sin??cos?31?32626? (2)?2??3?新 概 念 力 学 习 题 集 第 39 页

2?5?5?11? ,,,3636?a1??0.58?a1?0.58???当???时,(Ⅱ)组的值为 对?3:?a2?0.79 对?3??a2?0.21

4?a??0.79?a??0.21?3?3? a1?a2?a3?0 故此时?2,?3的简正模类似:两质点(1 3)?2或(1 2)?3作相对扭动。质点类似图1中的(b)。但此处的三个质点均不同步。当?值取其它值时亦类似。例

?2?5?35如变为质点(2 3)?1作相对扭动。当?取值?0,,,,?,?,?,2?时,才类似

23623 ?在2,4象限取值,但??图1的模式。

图1与图2的区别是:图1中总有一对质点的运动是同步的,而图2中的三个质点运动永不同步

6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm,经过10s后振幅变为1.0cm.经过多长时间振幅将变为0.30cm? 解:A(t)?Ae??t?1311310ln10? ??ln?ln3 t?ln??21s

10110ln3/100.3ln3???1lnA1A t?ln A(t)?A(t)

6-18 一音叉的频率为440Hz,从测试仪器测出声强在4.0s内减少到1/5,求音叉的Q值(Q =1/2?,?——阻尼度)

122?c?A 0ss2IA21?2?(t'?t)??t??t'?e?2??t 设Aa?Ae, Ab?Ae, t'?t?4s??t 由:b??(b)?eIa5Aa?1880?ln51 ????0??6.87?103 ?ln5 Q?2?2?2?ln5/82?t8解: ?0???2?v?2??440?880?rad 声强 I?

6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg,振动频率为0.50Hz,已知振幅的对数减缩为0.02,求弹簧的劲度系数k和阻尼因数?.

解: m?5.0kg v0?0.5Hz ?0?2?v0??? ?k?m?2k m (劲度系数)

?5?2?49.3kg ??0.02??T T?2?2??

22?r?0??s2?49.3Nm ????0???4?22???0.020.02?4?22?0.01/s (阻尼系数)

6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz,现施以振幅为100dyn谐变力,使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm,求阻力系数?和阻力的幅度。

解: v0?2Hz, ?0?2?v0?4?, F?100dyn, ??2m? 作一近似:设阻尼很小,则

?02??2??0由Amax?F2m??0??22?F??0

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F10051kg ??1.59g?g?s?s200?sAmax5?4?FF 阻力的幅度F0??vmax?????F?100dyn?10?3N

2m?? ? 阻力系数 ??

6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x1=Acos(?t+?/4),x2=3Acos(?t+3?/4)。求合成振动的振幅和初相位。 解:x1?Acos(?t??4) x2?3Acos?(t?A2?(3A)2?2A

3??(t??) ) x?x1?x2?/Acos4 和振动的振幅/A? ??arcsin3A3??7?arcsin? ?和振动的初相位???????1050 2A23412?x?Asin?t?x?Acos?t (2)?

?y?Asin?t?y?Bcos?t

6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动,并画出轨迹图来。两者有什么区别 (1) ?x2y2解:(1)2?2?1.为一正椭圆.

AB??x?Acos?(t?)?? ?即0?????.为顺时针方向旋转的椭圆 ???????2yx2?st?y?Bco??x?Acos?tx2y2?? (2)??,2?2?1,????y??x??,??????0.

2By?Bcos(?t?)A?2? 为逆时针方向旋转的正椭圆

?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?(1) x ?0, ?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?2AA,,0223B, B2

A, 23By ?B,,22A3A3A,,A (2) x ?0, , 2222B1B2B, B, 0y ?0,,, 2222

6-23 两支C调音叉,其一是标准的256Hz,另一是待校正的。同时轻敲这两支音叉,在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少。

解:v标?256Hz,?标?2?v标?512?rad/s,t?20s,n?10拍. T拍?t202?2???2s?? n10?较??标?标??较(1) 设?较??标,则?较??标??较??标??

?较?256.5Hz ??较????标?513?. v较?2?(2) 设?较??标,则?标??较??标??较??

??较??较???511?. v较?

?较?255.5Hz 2?

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