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求此物体达到的最大高度。
2??mgh?fs?mv0/222?h?(v?v)/4g 解：?012??mgh?mv1?fs
3-5 如本题图，物体A和B用绳连接，A置于摩擦系数为?的水平桌面上，B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB，求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度，
12?mBgh?(mA?mB)vB?fh2(mB??mA)gh2?vB?[] 解：?m?mf??mgABA?
3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，?角取什么值时大圆环刚能升起。
解：大圆环上升时，细线的拉力T=0。此时小环对大环而拟一提力N，小环受一下压力N
s?mg?2Nco?113M?s1(?1?) ?N?Mgco?s?Mv2/R ??min?co?332M?s)?Mv2/2?MgR(1?co?3-7 如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体，开始时处于静
止。若把m1、m2之间的连线烧断，求m1的最大速度
解：设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后，m1经过其平衡位置时，速度最大，记为vmax ,
??k(y2?y0)?(m1?m2)g? ?k(y1?y0)?m1g?1112?k(y2?y0)2?k(y1?y0)2?m1vmax?m1g(y2?y1)22?2
3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A、B离开时，B以多大速率运动；(2) A距起始点移动的最大距离。 解：（1）
1212kx0?(mA?mB)vB?vB?22kx0
mA?mB（2）
11'22'mAvB?kx0?x0?22mAmA'x0 ?xAmax?x0?x0?(1?)x0
mA?mBmA?mB
3-9 如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0，当外力撤去后，求：(1)弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2)质心速度的最大值。
解：(1)外力撤去的瞬间， m B受到向右的弹性力f?kx0, mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N，由于此时A静止，故f?N?kx,这样，系统(mA+mB+弹簧)受到的外力为F外?N，故有： acmax?F外/m?kx0/(mA?mB) 当mA离开墙体后， F外?0,ac?0 （2）当弹簧恢复到原长时，mA静止,mB动能最大：
1122mBv2?kx0?v2?k/mBx0 22此后系统在没有外力的作用下运动，质心最大速度vcmax服从关系式：
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(mA?mB)vcmax?mBv2?0?mBv2 即： vcmax此时 Ep?Ek?Epmax?uv??mii?mBmA?mBkx0 mB1211mAmB2kx0?(mA?mB)vc2max?v2 222mA?mB1mAmB2cMv2 （弹簧不伸长，不缩短，故其弹性势能为零） 其中 Ek?2mA?mB
3-10 如本题图，质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连，竖直地放在地面上，m1在上，m2在下。(1)至少先用多大的力F向下压m1，突然松开时m2才能离地？(2)在力F撤除后，由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大？何时为0？m2刚要离地面时ac=？ 解：（1）kl1?m1g?l1?m1g/k klF?F?m1g?lF?(F?m1g)/R 弹簧伸长l 2 时，m2方能离地（N=0）： kl2?m2g?l2?m2g/k
1212klF?kl2?m1g(lF?l2)?F?(m2?m2)g 22（2）力F撤除后，（m1+m2+弹簧）系统受外力F外?N?(m1?m2)g （以向上为正）
由
N?k(l0?x)?m2g。l为弹簧原长。
l0?x?lF,F外?(m1?m2)g?(m1?m2)acmax?acmax?g (方向向上) ?当F刚撤除时，
?? 当l0?x?l1时，F外?0?ac?0
（m1?m2)g?ac??g，这便是m2??? 当l0?x??l1，即弹簧伸长l2时，N=0，F外??刚要离地时的质心力加速度，方向向下。
3-11 如本题图，质量为M的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之间的夹角为?．一质量为m的物体从高h处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、M和地面为参考系，计算在下滑的过程中M对m的支撑力N及其反作用力N’所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0． 解：从p.105的2-17题可算出：
2(m?M)gsin?mMgcos?mgsin?cos?a?? N?N?a? myMx222M?msin?M?msin?M?msin?1mhcos?1 h?amyx2,sM?amxt2?2(m?M)sin?2① 以m为参照系，m不动，其位移s?0，故AN?Nscos??0。
' AN??N?s相cos?0,AN?AN??0
?2② 以M为参照系，M不动，其位移s?0，故AN??N?scos??0。 AN?Ns相cos?0,AN?AN??0
?2③ 以地面为参照系，M的位移为sM，m的位移为sm?s相?sM
??????m2Mhgcos2?m2Mgh? AN??N?sMcos(??)?
2(M?m)(M?msin2?)M2?(M?m)2tg2??Mm????????AN?N?sm?N(s相?sM)?Ns相cos?N??sM??AN?
2m2Mghcos2? ?? AN?AN??0
(M?m)(M?msin2?)新 概 念 力 学 习 题 集 第 15 页
????????????????????AN?N?sM,AN??N??sM，且 AN?AN?N?sM?N??sM?N?(sm?sM)?N?s相?0
??????? ?AN??N?sM?s)?AN??N??s ???????????N?sm??N?(sm?s)?AN?N?s?AN??AN???AN?AN??(N?N?)?s?0 AN??sM?s,sm??sm?s。 为s。sM?)，k?相对k的位移?)、sm(sm④ 设有两参考系k、k?，M和m的位移分别为sM(sM????
3-12 —根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各拴质量为m和M的物体(M>m)。M静止在地面上，绳子起初松弛。当m自由下落一个距离h后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M上升的最大高度H。 解： m下降距离h时，
12mv0?mgh?v0?2gh 2 经?t（很短）时间后，m , M同有角速度V，由动量定理，有： m:(T?mg)?t??mv?(?mv0) M:(T?mg)?t?MV 绳子被拉紧的?t时间内，T??ng,T??Mg， 故可忽略mg及Mg，?MV??mV?mv0 ∴两物体的速度为V?m2gh
M?m 设m再下降H，M上升H后，m , M的终端速度为0，即有
m21122 MV?mv?mgH?MgH ?H?h 22M?m22
3-13 如本题图，质量为m的物体放在光滑的水平面上，m的两边分别与劲度系数为k1和k2的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：(a) 若以拉力非常缓慢地拉了—段距离l，它作功多少？(b)若拉到距离l后突然不动，拉力作功又如何？
解：(a) ∵拉力F拉得缓慢，f?k2x2?k1x1，x1,x2从0增大，故f是变力，不是恒力。
??x1?x2?l1k1k22??A?l ?k1x1?k2x22k?k12?1122?A?Ep弹1?Ep弹2?k1x1?k2x2?22 (b) 施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a）的情形：A被分配到两弹簧上，此时A最小。第二，A只分配到k2上，这相当于拉力f?k2x2，为急
速地拉动，此时k1及m都来不及变化和运动，故Amax?
12k2l。一般地，有： 21k1k221l?A?k2l2
2k1?k22
3-14 质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的子弹以速率v0水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知M=980g, m=20g, v0=800m/s。求(1)木块对子弹作用力的功；(2)子弹对木块作用力的功；(3)耗散掉的机械能。
m20?10?3v0??800?16m/s 解：mv0?(M?m)V ?V??3?980?20??10M?m（1）A木块?子弹?Ek子弹?Ek子弹?01112mV2?mV0??20?10?3(162?8002)??6397.44J 222新 概 念 力 学 习 题 集 第 16 页
（2）A子弹?木块?Ek木块?Ek0木块?（3）耗散掉的机械能： ?E?11MV2??980?10?3?162?125.44J 22112mv0?(M?m)V2??A木块?子弹?A子弹?木块?6397.44?125.44?627J2 22
3-15 如本题图，m1、m2静止在光滑的水平面上，以劲度系数为k的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为m、水平速率为v0的子弹入射到m1内，弹簧最多压缩了多少？ 解：子弹打入m1内，又未穿出这一过程中，动量守恒： mv0?(m?m1)v1 然后，m1,m2,m及弹簧系统中，当m1(m)相对于质心的动能Ek大的压缩量xmax，由动量、能量守恒，得：
cM?0时，弹簧有最
?(m?m1)v1?(m?m1?m2)v0m2??x??mv0 ?111max222?(m?m1)(m?m1?m2)k?k(m?m1)v1?(m?m1?m2)vc?kxmax??222
3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为e．若球A自高度h1释放，求该球碰撞弹回后能达到的高度。
解：A球与B球碰撞前一刻的速度为vA0?2gh1，碰撞后两者的速度分别为vA,vB：
?11?mvA0?mvA?mvB ??vA?(1?e)vA0?0,vB?(1?e)vA0， vB?vA
22??vA?vB??evA0111???222mgh?mvh?gth?(1?e)h1AAAAA????hB?hA???224? ? ?????t?t11122?BA?mghB?mvB?hB?gtB?hB?(1?e)2h1??????22412 ∴A球第一次碰撞后返回的高度是hA?(1?e)h1
4
3-17 在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量分别为mA和mB的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生完全弹性碰撞，碰后A仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A，B至少发生两次碰撞的条件。
解：A质点与B质点第一次相碰前的速度为vA0? 由（3.63）式可得第一次碰撞后两质点速度为 vA?2gh
2mA2gh
mA?mB 若要求A点返回，则要求vA?0，则mA?mB，然后A质点再滑下，与B以生第二次碰撞，即要求： vA0'??vA?vB 可解出：mB?3mA或mA?mB/3
2gh，vB?
3-18 一质量为m的粒子以速度v0飞行，与一初始时静止、质量为M的粒子作完全弹性碰撞。从m／M=0到m／M=10画出末速v与比值m／M的函数关系图。
mA?mBmA?mBm?Mr?1?v?v?v??mm?M0r?10解：由（3.63）式得： ? vM?vm?v0
2m2r?vM?v0?v0?m?Mr?1? 两粒子末速v(vm或vM)与质量比m/M?r的函数关系如右图所示(r~0?10)，vm以