新概念力学习题解(黎草稿)

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求此物体达到的最大高度。

2??mgh?fs?mv0/222?h?(v?v)/4g 解:?012??mgh?mv1?fs

3-5 如本题图,物体A和B用绳连接,A置于摩擦系数为?的水平桌面上,B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略,绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB,求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度,

12?mBgh?(mA?mB)vB?fh2(mB??mA)gh2?vB?[] 解:?m?mf??mgABA?

3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上,可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑,求在下滑过程中,?角取什么值时大圆环刚能升起。

解:大圆环上升时,细线的拉力T=0。此时小环对大环而拟一提力N,小环受一下压力N

s?mg?2Nco?113M?s1(?1?) ?N?Mgco?s?Mv2/R ??min?co?332M?s)?Mv2/2?MgR(1?co?3-7 如本题图,在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体,开始时处于静

止。若把m1、m2之间的连线烧断,求m1的最大速度

解:设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后,m1经过其平衡位置时,速度最大,记为vmax ,

??k(y2?y0)?(m1?m2)g? ?k(y1?y0)?m1g?1112?k(y2?y0)2?k(y1?y0)2?m1vmax?m1g(y2?y1)22?2

3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上,另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后,在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后,设下面是光滑的水平面,求:(1)A、B离开时,B以多大速率运动;(2) A距起始点移动的最大距离。 解:(1)

1212kx0?(mA?mB)vB?vB?22kx0

mA?mB(2)

11'22'mAvB?kx0?x0?22mAmA'x0 ?xAmax?x0?x0?(1?)x0

mA?mBmA?mB

3-9 如本题图,用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接,放在光滑的水平面上。mA紧靠墙,在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0,当外力撤去后,求:(1)弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值;(2)质心速度的最大值。

解:(1)外力撤去的瞬间, m B受到向右的弹性力f?kx0, mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N,由于此时A静止,故f?N?kx,这样,系统(mA+mB+弹簧)受到的外力为F外?N,故有: acmax?F外/m?kx0/(mA?mB) 当mA离开墙体后, F外?0,ac?0 (2)当弹簧恢复到原长时,mA静止,mB动能最大:

1122mBv2?kx0?v2?k/mBx0 22此后系统在没有外力的作用下运动,质心最大速度vcmax服从关系式:

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(mA?mB)vcmax?mBv2?0?mBv2 即: vcmax此时 Ep?Ek?Epmax?uv??mii?mBmA?mBkx0 mB1211mAmB2kx0?(mA?mB)vc2max?v2 222mA?mB1mAmB2cMv2 (弹簧不伸长,不缩短,故其弹性势能为零) 其中 Ek?2mA?mB

3-10 如本题图,质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连,竖直地放在地面上,m1在上,m2在下。(1)至少先用多大的力F向下压m1,突然松开时m2才能离地?(2)在力F撤除后,由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大?何时为0?m2刚要离地面时ac=? 解:(1)kl1?m1g?l1?m1g/k klF?F?m1g?lF?(F?m1g)/R 弹簧伸长l 2 时,m2方能离地(N=0): kl2?m2g?l2?m2g/k

1212klF?kl2?m1g(lF?l2)?F?(m2?m2)g 22(2)力F撤除后,(m1+m2+弹簧)系统受外力F外?N?(m1?m2)g (以向上为正)

N?k(l0?x)?m2g。l为弹簧原长。

l0?x?lF,F外?(m1?m2)g?(m1?m2)acmax?acmax?g (方向向上) ?当F刚撤除时,

?? 当l0?x?l1时,F外?0?ac?0

(m1?m2)g?ac??g,这便是m2??? 当l0?x??l1,即弹簧伸长l2时,N=0,F外??刚要离地时的质心力加速度,方向向下。

3-11 如本题图,质量为M的三角形木块静止地放在光滑的水平面上,木块的斜面与地面之间的夹角为?.一质量为m的物体从高h处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、M和地面为参考系,计算在下滑的过程中M对m的支撑力N及其反作用力N’所作的功,并证明二者之和与参考系的选择无关,总是为0. 解:从p.105的2-17题可算出:

2(m?M)gsin?mMgcos?mgsin?cos?a?? N?N?a? myMx222M?msin?M?msin?M?msin?1mhcos?1 h?amyx2,sM?amxt2?2(m?M)sin?2① 以m为参照系,m不动,其位移s?0,故AN?Nscos??0。

' AN??N?s相cos?0,AN?AN??0

?2② 以M为参照系,M不动,其位移s?0,故AN??N?scos??0。 AN?Ns相cos?0,AN?AN??0

?2③ 以地面为参照系,M的位移为sM,m的位移为sm?s相?sM

??????m2Mhgcos2?m2Mgh? AN??N?sMcos(??)?

2(M?m)(M?msin2?)M2?(M?m)2tg2??Mm????????AN?N?sm?N(s相?sM)?Ns相cos?N??sM??AN?

2m2Mghcos2? ?? AN?AN??0

(M?m)(M?msin2?)新 概 念 力 学 习 题 集 第 15 页

????????????????????AN?N?sM,AN??N??sM,且 AN?AN?N?sM?N??sM?N?(sm?sM)?N?s相?0

??????? ?AN??N?sM?s)?AN??N??s ???????????N?sm??N?(sm?s)?AN?N?s?AN??AN???AN?AN??(N?N?)?s?0 AN??sM?s,sm??sm?s。 为s。sM?),k?相对k的位移?)、sm(sm④ 设有两参考系k、k?,M和m的位移分别为sM(sM????

3-12 —根不可伸长的绳子跨过一定滑轮,两端各拴质量为m和M的物体(M>m)。M静止在地面上,绳子起初松弛。当m自由下落一个距离h后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M上升的最大高度H。 解: m下降距离h时,

12mv0?mgh?v0?2gh 2 经?t(很短)时间后,m , M同有角速度V,由动量定理,有: m:(T?mg)?t??mv?(?mv0) M:(T?mg)?t?MV 绳子被拉紧的?t时间内,T??ng,T??Mg, 故可忽略mg及Mg,?MV??mV?mv0 ∴两物体的速度为V?m2gh

M?m 设m再下降H,M上升H后,m , M的终端速度为0,即有

m21122 MV?mv?mgH?MgH ?H?h 22M?m22

3-13 如本题图,质量为m的物体放在光滑的水平面上,m的两边分别与劲度系数为k1和k2的两个弹簧相连,若在右边弹簧末端施以拉力f,问:(a) 若以拉力非常缓慢地拉了—段距离l,它作功多少?(b)若拉到距离l后突然不动,拉力作功又如何?

解:(a) ∵拉力F拉得缓慢,f?k2x2?k1x1,x1,x2从0增大,故f是变力,不是恒力。

??x1?x2?l1k1k22??A?l ?k1x1?k2x22k?k12?1122?A?Ep弹1?Ep弹2?k1x1?k2x2?22 (b) 施力的方式比较复杂,现考虑两个极限情形:第一,如上述(a)的情形:A被分配到两弹簧上,此时A最小。第二,A只分配到k2上,这相当于拉力f?k2x2,为急

速地拉动,此时k1及m都来不及变化和运动,故Amax?

12k2l。一般地,有: 21k1k221l?A?k2l2

2k1?k22

3-14 质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的子弹以速率v0水平入射到木块内,并与木块一起运动。已知M=980g, m=20g, v0=800m/s。求(1)木块对子弹作用力的功;(2)子弹对木块作用力的功;(3)耗散掉的机械能。

m20?10?3v0??800?16m/s 解:mv0?(M?m)V ?V??3?980?20??10M?m(1)A木块?子弹?Ek子弹?Ek子弹?01112mV2?mV0??20?10?3(162?8002)??6397.44J 222新 概 念 力 学 习 题 集 第 16 页

(2)A子弹?木块?Ek木块?Ek0木块?(3)耗散掉的机械能: ?E?11MV2??980?10?3?162?125.44J 22112mv0?(M?m)V2??A木块?子弹?A子弹?木块?6397.44?125.44?627J2 22

3-15 如本题图,m1、m2静止在光滑的水平面上,以劲度系数为k的弹簧相连,弹簧处于自由伸展状态,一质量为m、水平速率为v0的子弹入射到m1内,弹簧最多压缩了多少? 解:子弹打入m1内,又未穿出这一过程中,动量守恒: mv0?(m?m1)v1 然后,m1,m2,m及弹簧系统中,当m1(m)相对于质心的动能Ek大的压缩量xmax,由动量、能量守恒,得:

cM?0时,弹簧有最

?(m?m1)v1?(m?m1?m2)v0m2??x??mv0 ?111max222?(m?m1)(m?m1?m2)k?k(m?m1)v1?(m?m1?m2)vc?kxmax??222

3-16 两球有相同的质量和半径,悬挂于同一高度,静止时两球恰能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为e.若球A自高度h1释放,求该球碰撞弹回后能达到的高度。

解:A球与B球碰撞前一刻的速度为vA0?2gh1,碰撞后两者的速度分别为vA,vB:

?11?mvA0?mvA?mvB ??vA?(1?e)vA0?0,vB?(1?e)vA0, vB?vA

22??vA?vB??evA0111???222mgh?mvh?gth?(1?e)h1AAAAA????hB?hA???224? ? ?????t?t11122?BA?mghB?mvB?hB?gtB?hB?(1?e)2h1??????22412 ∴A球第一次碰撞后返回的高度是hA?(1?e)h1

4

3-17 在一铅直面内有一光滑的轨道,轨道左边是光滑弧线,右边是足够长的水平直线。现有质量分别为mA和mB的两个质点,B在水平轨道上静止,A在高h处自静止滑下,与B发生完全弹性碰撞,碰后A仍可返回到弧线的某一高度上,并再度滑下。求A,B至少发生两次碰撞的条件。

解:A质点与B质点第一次相碰前的速度为vA0? 由(3.63)式可得第一次碰撞后两质点速度为 vA?2gh

2mA2gh

mA?mB 若要求A点返回,则要求vA?0,则mA?mB,然后A质点再滑下,与B以生第二次碰撞,即要求: vA0'??vA?vB 可解出:mB?3mA或mA?mB/3

2gh,vB?

3-18 一质量为m的粒子以速度v0飞行,与一初始时静止、质量为M的粒子作完全弹性碰撞。从m/M=0到m/M=10画出末速v与比值m/M的函数关系图。

mA?mBmA?mBm?Mr?1?v?v?v??mm?M0r?10解:由(3.63)式得: ? vM?vm?v0

2m2r?vM?v0?v0?m?Mr?1? 两粒子末速v(vm或vM)与质量比m/M?r的函数关系如右图所示(r~0?10),vm以

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