ez10. Res(n,0)?____.
z三. 计算题. (40分)
1. 将函数f(z)?ze在圆环域0?z??内展为Laurent级数.
21zn!n2. 试求幂级数?nz的收敛半径.
n?nezdz3. 算下列积分：
?Cz2(z2?9)，其中C是|z|?1.
4. 求z9???2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1. 函数
f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它
在D内为常数. 2. 设使得当|f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，z|?R时
|f(z)|?M|z|n，
证明
f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有
?Cf(z)dz?0.
（ ）
lim5. 若z?z0f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）
6. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）
lim7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则z?z8. 若9. 若
f(z)一定不存在. （ ）
0f(z0)?0,f(n)(z0)?0，则z0为f(z)的n阶零点. （ ）
f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则f(z)在0?|z|???内解析，则
f(z)?g(z),z?D. （ ）
10. 若
Res(f(z),0)??Res(f(z),?). （ ）
二. 填空题. (20分)
11. 设z?，则Rez?__,Imz?___.
1?iz1?z2?...?zn?______________.
n??n??n3. 函数ez的周期为__________.
14. 函数f(z)?的幂级数展开式为__________ 21?z5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的
_____________. 2. 若limzn??，则lim7. 设C:|z|?1，则
?(z?1)dz?___.
Csinz8. 的孤立奇点为________.
z9. 若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___.
z?z010.
ezRes(n,0)?_____________.
z三. 计算题. (40分)
31. 解方程z?1?0.
ez2. 设f(z)?2，求Res(f(z),?).
z?13.
z?|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .
11?z4. 函数f(z)?e?1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.
四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数
f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.
2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ） 2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内
恒等于常数. （ ） 3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）
z?z07. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数9. 若z0是
f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数. （ ）
f(z)的一级极点，则
z?z0Res(f(z),z0)?lim(z?z0)f(z). （ ）
10. 若
f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则
f(z)?g(z),z?D. （ ）
二. 填空题.（20分） 1. 设z2. 当z3. 设e4.
?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.
?___时，ez为实数.
z??1，则z?___.
ez的周期为___.
5. 设C:|z|?1，则
?(z?1)dz?___.
Cez?16. Res(,0)?____.
z7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
18. 函数f(z)?的幂级数展开式为_________.
1?z2sinz9. 的孤立奇点为________.
z110. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则
?C(z?a)ndz?___.（n为自
然数）
三. 计算题. (40分)
z?11. 求复数的实部与虚部.
z?12. 计算积分：
I??Rezdz，
L在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 3. 4.
d?求积分：I??01?2acos??a2，其中0 应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里?(z)在 2?|z|?1上解析，并且|?(z)|?1. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2. 设 f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微. f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M， z|?R时 |f(z)|?M|z|n， 使得当|证明: f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.