《复变函数》考试试题（十一）
一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）
nn?12．若z0是多项式P(z)?anz?an?1z?L?a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ）
3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）
5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）
z??二、填空题.（每题2分）
1．i?i?i?i?i? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?23456?2?arctany??，当x?0,y?0时，x2y?________________. x1223．函数w?将z平面上的曲线(x?1)?y?1变成w平面上的曲线______________.
zarg?arctan4．方程z?a?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)___________________.
i446．级数
?[2?(?1)n?0?n]z2的收敛半径为____________________.
7．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_____________________. 8．函数f(z)?6sinz?z(z?6)的零点z?0的阶数为_____________________. 9．设a为函数f(z)?336?(z)的一阶极点，且?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则?(z)Resz?af?(z)?_____________________. f(z)f?(z)?_____________________. f(z)10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Resz?a三、计算题（50分）
1ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且21满足f(1?i)?ln2.其中z?D（D为复平面内的区域）.（15分）
21．设u(x,y)?2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分） （1） tanz； （5分） （2）3．计算下列积分.（15分）
2e. （5分） ez?11z?1z19dz （8分） （1）?，
z?4(z2?1)4(z4?2)3 （2）
??0d? （7分）.
1?cos2?7424．叙述儒歇定理并讨论方程z?5z?z?2?0在z?1内根的个数.（10分） 四、证明题（20分）
1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明f(z)是下半复平面内的解析函数.（10分）
2．设函数f(z)在z?R内解析，令M(r)?maxf(z),(0?r?R)。证明：M(r)在区
z?r间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使M(r1)?M(r2)，则
f(z)?常数.（10分）
《复变函数》考试试题（十二）
二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）
1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（ ）
2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 （ ） 3．sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。 （ ）
4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域D?D??D上连续，则存在M?0，使得对任意的z?D，有f(z)?M。 （ ） 5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）
1．i?i?i?i?i? _____________________。 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?2345622?2?arctany??，当x?0,y?0时，x2arg?arctany?________________。 x11)?iy(1?)，则其关于变量z的表达式为__________。
x2?y2x2?y23．若已知f(z)?x(1?4．nz以z?________________为支点。 5．若lnz??2i，则z?_______________。
6．
?z?1dz?________________。 z2467．级数1?z?z?z?L的收敛半径为________________。 8．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_______________。
9．若z?a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则z?a是
1的________________奇点。 f(z)10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)?_____________________。 f(z)三、计算题（50分）
1．设区域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w?5z在D内满足条件5?1??1的单值
连续解析分支在z?1?i处之值。 （10分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分） （1）f(z)?Lnz的各解析分支在z?1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） z2?1ez（2）求Resn?1。 （5分）
z?0z3．计算下列积分。（15分）
z7dz （8分） （1）?，
z?2(z2?1)3(z2?2) （2）
?????x2dx(x2?a2)2(a?0) （7分）。
64．叙述儒歇定理并讨论方程z?6z?10?0在z?1内根的个数。（10分） 四、证明题（20分）
z1．讨论函数f(z)?e在复平面上的解析性。 （10分）
2．证明：
1znez?d?zn2??()。 n?C2?in!??n! 此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）
《复变函数》考试试题（十三）
一、填空题．（每题２分） １．设z?r(cos??isin?)，则
1?_____________________． zz?z0２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充要条件是_______________________．
３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分
?Cf(z)dz?_________________________．
z?a４．设z?a为f(z)的极点，则limf(z)?____________________． ５．设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?1，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21?z７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z??sin??6?icos?6，则z的三角表示为_________________________．
９．
?40zcoszdz?___________________________．
e?z１０．设f(z)?2，则f(z)在z?0处的留数为________________________．
z二、计算题．
１．计算下列各题．（９分）
(1) cosi； (2) ln(?2?3i); (3) 32．求解方程z?8?0．（７分）
22３．设u?x?y?xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之
3?i
3f(i)??1?i．（８分）
４．计算积分．（10分） (1) (2)
??C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲线．
[(x?y)?ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．
1?i0５．试将函数f(z)?1分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级
(z?1)(z?2)