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课时作业(六十七) [第67讲 合情推理与演绎推理]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1．[2011·焦作模拟] 在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b4＋b8 A．P(2 007)＝403 B．P(2 008)＝404 C．P(2 009)＝403 D．P(2 010)＝404 3．[2011·万州模拟] 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n bn－am ∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈ n－m * N)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝( ) m－nbmn－mbnA. B. anamn－mnmn－mmnC.ba D.ba 4．有下列推理： ①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆； ②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式； x2y22222 ③由圆x＋y＝r的面积S＝πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab； ab ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 以上推理不是归纳推理的序号是________． (把所有你认为正确的序号都填上) 能力提升 5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2013(x)＝( ) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 6．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质 11 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝?an－1＋a?(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 2?n－1? ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ 7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为( ) A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0 C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0 1?x?1?8．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝?是指数函数(小前提)，所以y＝?3??3? x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提错都导致结论错 9．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为( ) 12 43 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 A．105 B．106 C．107 D．108 10．对于命题： →→→→ 若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0. 将它类比到平面的情形是： →→→ 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OAB·OC＝0. 将它类比到空间的情形应该是： 若O是四面体ABCD内一点，则有________． 11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数． 对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________. 111 12．[2011·宁波模拟] 在计算“＋＋…＋(n∈N*)”时，某同学学到了如 1×22×3n?n＋1? 下一种方法： 111 先改写第k项：＝－， k?k＋1?kk＋1 111111111 由此得＝－，＝－，…，＝－， 1×2122×323n?n＋1?nn＋1 1111n 相加，得＋＋…＋＝1－＝. 1×22×3n?n＋1?n＋1n＋1 111 类比上述方法，请你计算“＋＋…＋(n∈N*)”，其结果为 1×2×32×3×4n?n＋1??n＋2? ________． 13．[2011·浙江五校联考] 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－1为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为____________(n∈N*)． ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ 图K67－1 14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数． (1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)； 11114 (2)证明：＋＋＋…＋<. f?1?f?2?f?3?f?n?3 图K67－2 15．(13分)如图K67－3所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N. (1)求证：CC1⊥MN； (2)在任意△DEF中有余弦定理： DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 图K67－3 难点突破 x·?x－1?·…·?x－m＋1?m 16．(12分)规定Cx＝，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这是组m！合数Cmn(m，n是正整数，且m≤n的一种推广)． (1)求C5－15的值； mn－mm－1m (2)组合数的两个性质：①Cn＝Cn.②Cm＝Cmn＋Cnn＋1.是否都能推广到Cx(x∈R，m是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由； m (3)已知组合数Cmn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cx∈Z. ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓