1.1.2 充分条件和必要条件
[基础达标]
12
1．设x∈R，则“x>”是“2x＋x－1>0”的________条件．
2
112
解析：由不等式2x＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，得x>或x<－1，所以由x>可以2211222
得到不等式2x＋x－1>0成立，但由2x＋x－1>0不一定得到x>，所以x>是2x＋x－1>0
22
的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2
2．(x＋1)(x＋2)>0是(x＋1)(x＋2)>0的________条件．
2
解析：(x＋1)(x＋2)>0?x<－2或x>－1，(x＋1)·(x＋2)>0?x>－1，因为x>－1?x<－2或x>－1，x<－2或x>－1 x>－1，所以应填“必要不充分”．
答案：必要不充分
3．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．
解析：由题意知p?q，r?q，s?q，s?t，t?r，所以p?t，r?t. 答案：充分 充要
4．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的________条件．
解析：因为a＝2?(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
1
5．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”
2
的________条件．
1
解析：当m＝时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直，故原命题为真．而当
2
m＝－2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假．
答案：充分不必要
111
6．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的________条件．
abc≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；bc111bc＋ac＋ab当abc＝1时，＋＋＝＝bc＋ac＋ab，a＋b＋c＝
abcabca＋b＋b＋c＋a＋c≥ab＋bc＋ac，所以充分性成立，故“abc＝1”是
解析：当a＝b＝c＝2时，有
1
a＋1
＋
1
2
“
1
a＋1
b＋
1
c≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
22
7．求使关于x的方程x－2mx＋m－m－2＝0的两根都大于2的充要条件． Δ≥0??22
解：设关于x的方程x－2mx＋m－m－2＝0的两根为x1，x2，依题意，得?x1>2，
??x2>2不等式组等价于
1
m2－m2－m－??
?x1－＋x2－?x2－?x1－
4m＋8≥0???2m>4??m2－5m＋2>0
，
，
??m>2解得?
5－175＋17m<或m>??22
5＋17∴m>.
2
m≥－2
，
5＋1722
即关于x的方程x－2mx＋m－m－2＝0的两根都大于2的充要条件为{m|m>}．
2
2
8．求证：关于x的方程ax＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：充分性：因为a－b＋c＝0，
2
即a·(－1)＋b·(－1)＋c＝0，
2
所以－1是ax＋bx＋c＝0的一个根．
2
必要性：因为ax＋bx＋c＝0有一个根为－1，
2
所以a·(－1)＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
2
综上可得ax＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[能力提升]
1．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的________条件．
解析：(1)当直线l与三个平行平面α1，α2，α3垂直时，显然P1P2＝P2P3?d1＝d2. (2)当直线l与α1，α2，α3斜交时，过点P1作直线P1A⊥α2分别交α2，α3于点A，B，则P1A⊥α3，故P1A＝d1，AB＝d2，显然，相交直线l与直线P1A确定一个平面β，∵α1∥α2∥α3，∴P2A∥P3B，∴
P1P2d1
＝.故P1P2＝P2P3?d1＝d2.综上知应填充分必要条件． P2P3d2
答案：充分必要
*2
2．设n∈N，一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
4±16－4n解析：由题意得x＝＝2±4－n，因为x是整数，即2±4－n为整数，所
2以4－n为整数，且n≤4，又因
*
为n∈N，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意；反之n＝3,4时都可推出一元二
2
次方程x－4x＋n＝0有整数根．
答案：3或4
22
3．已知p：A＝{x∈R|x＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
2
解：B＝{x∈R|x－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}， ∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，qp，即AB，
2
可知A＝?或方程x＋ax＋1＝0的两根在区间[1,2]内，
2
??1≤－a≤22∴Δ＝a－4<0或?
4＋2a＋1≥0??1＋a＋1≥0
2
Δ≥0
，
得－2≤a<2.
即实数a的取值范围为－2≤a<2.
2
4．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5 (2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5 (1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5 (2)当M∩P＝{x|5 3