专题三 5大数学思想方法
第四节 方程思想与函数思想
类型十五 方程思想在实际生活中的应用
(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( ) A．360 C．600
B．480 D．720
【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可． 【自主解答】
17．(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每5
支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是______
4元．
类型十六 方程思想在几何中的应用
︵
(2018·湖南湘潭中考)如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A，C，B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM. (1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM＝60°时，求DM的长； ②当AM＝12时，求DM的长．
(2)探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1
【分析】(1)①当∠AOM＝60°时，△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD＝30°，∠D＝30°，所以DM＝OM＝10； ②过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，OF＝10－x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．
(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案． 【自主解答】
数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决．要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的．
18．(2018·山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连结BE.
(1)求证：AE＝BF；
(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
2
类型十七 方程思想在函数中的应用
(2018·广西桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；
(2)根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案； (3)根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE＝2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【自主解答】
3