绵阳市高中2017级第二次诊断性考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U??x|x?0?，M?x|1?e?ex?2?，则CUM?( )
D. ?2,???
A. ?1,2? 2.已知iA. 2?i C. 1?2i
B. ?2,??? C. ?0,1?U?2,???
虚数单位，复数z满足z?i?1?2i，则z?( )
B. 2?i D. i?2
uuruur3.已知两个力F,2?，F2???2,3?作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还1??1uuruur需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3?( )
A. ?1,?5?
B. ??1,5?
C. ?5,?1?
D. ??5,1?
4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.
1 8B.
1 4C.
3 8D.
1 25.已知?为任意角，则“cos2??A. 充分不必要条件 C. 充要条件
13”是“sin??”的( ) 33B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
1??6.若?ax??的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含x3项的系数为( ) x??A. -80
B. -10
C. 10
D. 80
57.已知某产品销售额y与广告费用x之间的关系如下表：
x(单位：万元) 0 1 15 2 3 30 4 35 y(单位：万元) 10
若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y?6.5x?9，则下列说法中错误的是( ) A. 产品销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点?2,22?
C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. m的值是20
x2y28.双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分
ab别交于A，B两点，若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为bc，则双曲线的离心率为( ) A.
2
9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的期望为( ) A. 1
10.已知圆C：x2?y2?6x?8y?11?0，点M，N在圆C上，平面上一动点P满足PM?PN且
的的m B. 2
C.
3 D. 3
B. 2 C. 3 D. 4
PM?PN，则PC的最大值为( )
A. 4
B. 42 C. 6
D. 62 11.已知f?x?为偶函数，且当x?0时，f?x??xcosx?sinx?13x，则满足不等式3??f?log2m??f?log1m??2f?1?的实数m的取值范围为( )
?2?
A. ??1?,2? ?2?2B. ?0,2?
C. ?0,??1??U?1,2? 2?D. ?2,???
12.函数f?x???2ax?1??loga?ax?2?在区间?0,?上恰有一个零点，则实数aaA. ?,?1???取值范围是( )
?11?? 32??B. 3,??? ?C. ?1,2?U?3,??? D. ?2,3?
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线l：ax??a?1?y?1?0与直线4x?6y?3?0平行，则实数a的值是______.
14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率?的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计?的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对?x,y?；再统计两数的平方和小于1的数对?x,y?的个数m；最后再根据统计数m来估计?的值.已知某同学一次试验统计出m?156，则其试验估计?为______.
15.函数y?sin??x??????0,??????则f?x?在区间???,??上的零点之和为______. ?的图象如图所示，
2?的
16.过点M??1,0?的直线l与抛物线C：y2?4x交于A，B两点(A在M，B之间)，F是抛物线C的焦点，点N满足：NA?5AF，则?ABF与?AMN的面积之和的最小值是______.
uuuruuur三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.
17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名)，统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示：
(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.
(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2?2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.
2?2列联表
男
附表：
女 总计 t?m t?m 总计 P?K2?k0? k0
0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 n?ad?bc?2. 其中：K??a?b??c?d??a?c??b?d?18.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且满足a1?a2?0，S6?24.各项均为正数的等比数列?bn?满足
2b1?b2?a4?1，b3?S4.
(1)求an和bn；
(2)求和：Tn?1??1?b1???1?b1?b2??L??1?b1?b2?L?bn?1?.
19.在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知?sinA?sinB??a?b??c?sinC?sinB?. (1)求A；
(2)若D为BC边上一点，且AD?BC，BC?23AD，求sinB.
x220.已知椭圆C：?y2?1，直线l交椭圆C于A，B两点.
2(1)若点P??1,1?满足OA?OB?OP?0(O为坐标原点)，求弦AB的长；
(2)若直线l的斜率不为0且过点?2,0?，M为点A关于x轴的对称点，点N?n,0?满足MN??NB，求n的值.
21.已知函数f?x??2lnx?uuuruuuruuurruuuuruuur12x?ax，其中a?R. 2(1)讨论函数f?x?的单调性；
(2)若a?3，记函数f?x?的两个极值点为x1，x2(其中x2?x1)，当f?x2??f?x1?的最大值为2ln2?时，求实数a的取值范围.
32(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为??x?1?rcos?(r?0，?为参数)，以坐标原点O为极点，
?y?rsin????x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P?2,?，曲线C2的直角坐标方程为x2?y2?1.
?3?(1)求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；
11???????(2)若A??1,??，B??2,???是曲线C2上两点，当???0,?时，求22的取值范围. OAOB64????23.已知关于x的不等式x?1?2x?1?log1a，其中a?0.
2(1)当a?4时，求不等式的解集； (2)若该不等式对x?R恒成立，求实数a
取值范围.