2.3 等差数列的前n项和（1）
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：
设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋… ＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)， ∴Sn＝
nn＋1
2
.
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]． 两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝
na1＋an2
.
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， 代入上式可得Sn＝na1＋
nn－1
2
d.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3答案 S3＝
a1＋a3
2
＝3×a1＋a3
2
＝3a2＝21.
思考2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式
1
与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋答案 按n的降幂展开Sn＝na1＋常数项为0.
nn－1
22
d吗？
nn－1
2
ddd ＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数形式，且
2
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形： (1)Sn＝n·
a1＋an2
；
(2)Sn＝n＋(a1－)n；
22
(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)． n22n2
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
答案 (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10) ＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
d2
dSnddSnd10＋…＋4310d＝100d，类似可得 ＝101d4＋44d24410个(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋… ＋a30是等差数列．
梳理 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，
S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N)，
则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，
**
S奇an＝. S偶an＋1
S奇n＝. S偶n－1
类型一 等差数列前n项和公式的应用 命题角度1 方程思想
例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
2
解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式Sn＝na1＋
nn－1
2
d，
??10a1＋45d＝310，得到?
?20a1＋190d＝1 220，???a1＝4，解方程组得?
?d＝6.?
∴Sn＝n×4＋
nn－1
22
×6＝3n＋n.
＝310?a1＋a10＝62，
①
②
2
10
方法二 S10＝
a1＋a10
S20＝
20a1＋a20
2
＝1 220?a1＋a20＝122，
②－①得a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋
nn－1
2
d＝3n2＋n.
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
an＝a1＋n－1d，??解 由?nn－1
Sd，n＝na1＋?2?a1＋2n－1＝11，??
得?nn－1
na×2＝35，1＋?2?
解方程组得?
?n＝5，???a1＝3
或?
?n＝7，?
??a1＝－1.
命题角度2 实际应用
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
3
解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20， 则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 60＋60－19×0.5
所以有S20＝×20＝1 105(元)，
2即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意， 有2n＋
nn－1
2
＋5n＝70，整理得n＋13n－140＝0.
2
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，依题意， 有2n＋
nn－1
2
2
＋5n＝3×70，
整理得n＋13n－420＝0. 解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟． 类型二 等差数列前n项和的性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
Sn7n＋2a5(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
Tnn＋3b5
解 (1)方法一 在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列．
4