信号与系统习题集(郑君里)

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(d) f(t)?sin(?1t)GT(t) (?1?2?)T

jf(t)sin(?0t)?[F(???0)?F(???0)]2 ∵ ET2?? (????)1?j2T??TF(j?)??2E?1sin()?2 j (???1)?22???1?

3-17 题图3-17所示各波形的傅立叶变换可在本章正文或附录表中找到,利用这些结果给出各波形频谱所占带宽

或频谱包络图的第一零点值),注意图中的时间单位都为

Bf?s。

(频谱图

解:(a)

f(t)?G?(t)?F(j?)??Sa(??2

) ??4?10-6s

??

?11?106Hz?MHz244 ∴

f(t)?u(t?5)?u(t?1)?u(t?1)?u(t?5)?G?1(t)?G?2(t) B?? ?106 Bf?(b)

?106 F(j)?022

??

?1?10?10?6s ?2?2?10?6s

F(j?)?10Sa(5?)?2Sa(?)

?????106 F(j)?022

?11B???106 Bf??106Hz?MHz244 ∴

12?tf(t)?[1?cos()]G?(t) ??8?10-6s2?(c)

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(??)F(j?)??Sa2???21?(2

2?)?????

2106 F(j2)?0 B??2?106 B11 ∴

?f?4?106Hz?4MHz

F(j?)??2???2

2Sa(4)e?j?

??2??106 F(j?2)?0

B?2??106 B?106Hz?1 ∴ ?fMHz

??2?106t ( 0?t?1?10?6s)f(t)????1 (12?10?6s?t?3?10?6?22s)?-2?106(t?2?10?6) (3?10?6s?t?2?10?6s (e) ??2)

8?1063??10?6F(j?)?sin[]sin[10?6??j10?6? ?244]e??4??106 F(j?

) 32?0 B4?22 ∴ ??3?106 Bf?3?106Hz?3MHz

f(t)?sin?c(t?t1)(f) ? ?c?106? t1?10?6sc(t?t1)

???j?t1F(j?)????e (???c) ?c?0 (???c)

????106 F(j? 2)?0

B???106 B?1?101 ∴ ?6f2Hz?2MHz

3-19 求题图3-19所示

F(?)的傅立叶逆变换f(t)。

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j?t0j?(?)F(j?)?F(?)e?AG(?)e (???0) 2?0 解:(a)

利用对称性,有

2?0Sa(?0t)?2?G2?0(?)

A?0 ∴

?Sa(?0t)?AG2?0(?)A?0f(t)? ∴

?Sa[?0(t?t0)]

?j??AG2?0(?)e2 ( 0????0)????j?AG(?)e2 (-????0)0?2?0

F(j?)?F(?)ej?(?) (b)

利用对称性,有

?j[AG?0(???02)?AG?0(?????02)]

j0tj0tA?0?0A?0?t?t2f(t)?jSa(t)[e?e2]??Sa(0)sin(0)2?2?22

2A2?0t??sin()?t2

3-22 利用时域与频域的对称性,求下列傅立叶变换的时间常数。 (1) (2)

F(?)??(???0)

F(?)?u(???0)?u(???0)

??0? (???0F(?)????(其他)?0 (3)

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解:(1)∵

?(t) ? 1

利用对称性,有 1

? 2??(??)?2??(?)

j?0t ∴ e ? 2??(???0)

1ej?0t ∴ 2? ?

?(???0) ?) (2) ∵

G?(t)?Sa(??2

?Sa(t 利用对称性,有

2?)? 2?G?(?) ∵

u(t?t0)?u(t?t0)?G2t0(t)

?

2t0Sa(?t0)

?0Sa(?0t) ∴ ? ? G2?0(?)?u(???0)?u(???0)

(3)∵

G?(t)?Sa(??) ? 2 ?Sa(t 利用对称性,有

2?)

? 2?G?(?) (?0)2Sa(??0?0t)G2? ∴ ? ? ?0(?)?0? (???0)

3-24 求题图3-24所示三角形调幅信号的频谱。

f1(t)?F211(j?)??12Sa(??4)

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f2(t)?F2(j?)??[?(???0)??(???0)]

F(j?)?∴

(???0)?1(???0)?1???1F1(j?)?F2(j?)?1?Sa2[]?Sa2[]?2?4?44?

j?(?)f(t),已知其傅立叶变换式f(t)?F(j?)?F(?)e,利用傅立叶变换的性质(不

3-25 题图3-25所示信号

作积分变换),求:

? (1)

?(?); (2)F(0)

; (3)???F(?)d?; ?1(4)

F?Re[F(?)]?之图形。

解:(1) 令 f1(t)?f(t?1),则f1(t)为偶函数

f1(t)?F1(j?)?F(?)ej?1(?)

F1(j?)为实偶函数,即?1(?)?0

f(t)?f?j?1(t?1)?F(j?)?F1(j?)e ∴

?(?)???

(2)

F(0)即f(t)与t轴所围图形的面积

F(0)?1∴ 2?4?2?4 f(t)?1?F(jj?t(3)2?????)ed?

∴ ????F(?)d??2?f(0)?2?

(4)其图形为函数f(t)之偶分量

3-29 若已知

f(t)?F(j?),利用傅立叶变换的性质确定下列信号的傅立叶变换: df(t)1)

tf(2t); (2) (t?2)f(t); (3) (t?2)f(?2t)t(; (4)

dt;

(5) f(1?t); (6)(1?t)f(1?t); (7) f(2t?5)。

解: (1)由傅立叶性质有:

f(2t)?1

2F(?2); tf(t)?jdF(?)

d? ?tf(2t)?j1dF(2) ∴

2d? (2)由傅立叶性质有:

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