∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝
a，
∴＝＝2﹣．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝
a，
∴PC＝a﹣
a，
∴＝＝2+．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9. （2019?广东省广州市?14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE． （1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ∴∠DFC＝∠C＝60° ∴∠DFC＝∠A ∴DF∥AB； （2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M， ∵AB＝BC＝6，BD＝4， ∴CD＝2 ∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上， ∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60° ∴MD＝2
﹣2）＝6
﹣6
∴S△ABF的最小值＝×6×（2
∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60° ∵GD⊥EF，∠EFD＝60° ∴FG＝1，DG＝∵BD＝BG+DG， ∴16＝3+（BF+1）， ∴BF＝∴BG＝
﹣1
2
2
2
2
FG＝
∵EH⊥BC，∠C＝60° ∴CH＝
，EH＝
HC＝EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90° ∴△BGD∽△BHE ∴
∴
∴EC＝﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键． 10.
7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国