习题精选精讲圆标准方程
已知圆心C(a,b)和半径r，即得圆的标准方程(x?a)心C(a,b)和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点(2,?1)为圆心且与直线3x?4y?5?(A)(x?2)(C)(x?2)222?(y?b)2?r2；已知圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，即得圆
0相切的圆的方程为( )
?(y?1)2?3 (B)(x?2)2?(y?1)2?3 ?(y?1)2?9 (D)(x?2)2?(y?1)2?9
解 已知圆心为(2,?1)，且由题意知线心距等于圆半径，即d故选(C).
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程(x?a)二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线x?(A)(0,(C)(?2?6?4?532?42
?3?r，∴所求的圆方程为(x?2)2?(y?1)2?9，
?(y?b)2?r2即得圆的方程.
y?1与圆x2?y2?2ay?0(a?0)没有公共点，则a的取值范围是( )
2?1) (B)(2?1,2?1) 2?1,2?1) (D)(0,2?1)
2解 化为标准方程x∵直线
?(y?a)2?a2，即得圆心C(0,a)和半径r?a.
x?y?1与已知圆没有公共点，∴线心距d?a?12?r?a，平方去分母得
a2?2a?1?2a2，解得
?2?1?a?2?1，注意到a?0，∴0?a?2?1，故选(A).
点评：一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系：d?r?线圆相离；d?r?线圆相切；d?r?线
圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆x(A)
2?y2?4x?2y?5?0相切的直线方程为( ) 211x (B)y?3x或y??x 3311(C)y??3x或y??x (D)y?3x或y?x
335522解 化为标准方程(x?2)?(y?1)?,即得圆心C(2,?1)和半径r?.
222k?15设过坐标原点的切线方程为y?kx，即kx?y?0，∴线心距d?，平方去分母得(3k?1)(k?3)?0，解得?r?22k?111k??3或，∴所求的切线方程为y??3x或y?x，故选(A).
33点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
y??3x或y?四、弦长问题
例4 (06天津卷理) 设直线ax?解 由已知圆(x?1)2y?3?0与圆(x?1)2?(y?2)2?4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a? .
?(y?2)2?4，即得圆心C(1,2)和半径r?2.
a?1a?12AB22)?(3)2?22，即(a?1)2?a2?1，解得a?0. )?r2，∴(∵线心距d?，且d?(2a2?1a2?1AB22)?r2. 点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题：d?(2五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆x2?2x?y2?2y?1?0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
1
313 (B) (C) (D) 0
22522解 已知圆化为(x?1)?(y?1)?1，即得圆心C(1,1)和半径r?1.
(A)设由
P(3,2)向这个圆作的两条切线的夹角为?，则在切线长、半径
r和
PC构成的直角三角形中，
cos?2?25，∴
cos??2cos2?2?1?3，故选(B). 5点评：处理两切线夹角?问题的方法是：先在切线长、半径r和夹角?问题.
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点(1,解 由已知圆(x?2)设P(1,2PC所构成的直角三角形中求得
?的三角函数值，再用二倍角公式解决22)的直线l将圆(x?2)2?y2?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k? .
?y2?4，即得圆心C(2,0)和半径r?2.
2)，则kPC??2；∵PC?直线l时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l的斜率k??1kPC?22.
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14 ?0的最大距离与最小距离的差是( )
2 (D)52 22解 已知圆化为(x?2)?(y?2)?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.
(A) 30 (B) 18 (C)6设线心距为d，则圆上的点到直线x?选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为d为dy?14?0的最大距离为d?r，最小距离为d?r，∴(d?r)?(d?r)?2r?62，故
?r，最小距离
?r.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22，则直线l的倾斜
角的取值范围是( )
?5????,] (B)[,] (C)[,] (D)[0,] 124121263222解 已知圆化为(x?2)?(y?2)?18，即得圆心C(2,2)和半径r?32.
(A)[??a2?b2a?5?2由直线l的斜率k??代入得k?4k?1?0，解得2?3?k?2?3，又tan?2?3，tan?2?3，∴直线l的
b1212?5?,]，故选(B). 倾斜角的取值范围是[1212点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1) 圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；
(2)
∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?0的距离为22，∴d?2a?2b?r?22?2，即a2?4ab?b2?0，
DE,?圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为(?22)，半径为r＝
D2?E2?4F2
2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
2
???0?相交?Ax?By?C?0?判别式????一元二次方程消元???0?相切 ?22?x?y?Dx?Ey?F?0???0?相离?(2) 法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝
Aa?Bb?CA2?B2?d?r?相交???d?r?相切.
?d?r?相离?3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， ｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O1O2｜＞r1＋r2?两圆外离； ｜O1O2｜＝r1＋r2?两圆外切；
｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2?两圆相交； ｜O1O2｜＝｜r1－r2｜?两圆内切； ０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜?两圆内含. ●点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是
111 B.－1 7A.－1 A.｜a｜＜1 B.a＜ 2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是 111C.｜a｜＜ D.｜a｜＜ 13513｜a｜＜ 解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部?（5a+1－1）2+（12a）2＜1? 3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是 222 A.当a+b=r时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b ●典例剖析 【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2. 又因为直线y=x截圆得弦长为2 1.答案：D 137，则有（ |3b?b|2）2+（7）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9. 夯实基础 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A 2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B 3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________. 解析：圆心（－ 1，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：2 2|?10|=2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：1 54.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d= 5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程. 解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. 3 ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直， ∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0. b2?6b?1Δ=4（4－b）－4×2×（b－6b+1）>0，得2－32 2b2?6b?12 y1·y2=b－b（x1+x2）+x1·x2=+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0. 2解得b=1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y=－x+1. 2 2 培养能力 7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）（3）x2+y2的最大值和最小值. y的最大值和最小值；（2）y－x的最小值； x3为半径的圆. y POC(2,0)x 解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以 设 |2k?0|y=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=3， 2xk?1 解得k2=3.所以kmax=3，kmin=－3. |2?0?b|2= （2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得即b=－2± 3， 6，故（y－x）min=－2－6. （3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+3，（x2+y2）min=｜OB｜ =2－3. 8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB= 4?2=－1，AB的中点为（2，3）， 1?3故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组 x－y+1=0， y=0 的解，即圆心坐标为（－1，0）. 半径r= (?1?1)2?(0?4)2=20，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20. (2?1)2?(3?0)2=18，|M1C| 因为M1到圆心C（－1，0）的距离为|M2C|= “求经过两圆x2(2?1)2?(4?0)2=25>20，所以M2在圆C外. ?y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。”同学们普遍使用下 面两种方法求解： 方法—：先求出两已知圆交点r，于是可得所求圆方程。 方法二：先求出两已知圆交点入x?程。 但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。 经过两已知圆的交点的圆系 4 A1??1,3?,A2??6,?2?，再设圆心坐标为B(b?4,b)，根据A1B?A2B?r，可求出圆心坐标及半径 EA1??1,3?,A2??6,?2?，再设所求圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0,其圆心为??D2,?2?，代 y?4?0，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方 设圆C1与C2的方程为： C1: C2: x2?y2?D1x?E1y?F1?0 x2?y2?D2x?E2y?F2?0. 并且两圆相交于两点。引进一个参数?，并令： x2?y2?D1x?E1y?F1+?（x2?y2?D2x?E2y?F2）=0 ——① 其中??-1。 引进两个参数?1和?2，并令： ?1（x2?y2?D1x?E1y?F1）+?2（x2?y2?D2x?E2y?F2）=0 ——② 其中?1+?2?0 不论参数取何值，方程①与②中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同： ⑴ 当?=0时，方程①的曲线就是圆C1;不论?为何值，方程①的曲线都不会是圆C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。 ⑵ 当?1=0时，方程②的曲线就是圆C2；当?2=0时，方程②的曲线就是圆 C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。 下面应用圆系来解本文前面的问题： 设经过已知两圆的交点的圆的方程为： x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0. （??-1）则其圆心坐标为(?331??,??1??)∵ 所求圆的圆心在直线x?y?4?0上∴ ?31??+3?1??－4=0， 解得?=-7 ∴ 所求圆的方程为：x2?y2?6x?4－7(x2?y2?6y?28)?0即：x2?y2?x?7y?32?0 下面再举两例说明圆系的应用 例1． 求经过两已知圆：x2?y2?4x?6?0和x2?y2?4y?6?0的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为： x2?y2?4x?6??(x2?y2?4y?6)?0 （??-1） 其圆心的横坐标为：x?21?? ，令 21??=3 得 ???13 ∴ 所求圆的方程为：x2?y2?4x?6?13(x2?y2?4y?6)?0即 x2?y2?6x?2y?6?0 例2． 设圆方程为： (??4)x2?(??4)y2?(2??4)x?(12??40)y?48??164?0 其中??－4 求证： 不论?为何值，所给圆必经过两个定点。 证明： 把所给方程写为： 4(x2?y2?x?10y?41)??(x2?y2?2x?12y?48)?0 这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程： x2?y2?x?10y?41?0x2?y2?2x?12y?48?0 所以，不论?为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点 直线与圆的位置关系 二、例题选析 例1：求由下列条件所决定圆x2?y2?4的圆的切线方程； (1)经过点P(3,1)，(2)经过点Q(3,0)，(3)斜率为?1 解：(1) ?(3)2?12?4 ∴点P(3,1)在圆上，故所求切线方程为3x?y?4。 (2)?32?02?4 ∴点Q在圆外。 设切线方程为y?k(x?3)即kx?y?3k?0 ?直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴ ?3k1?k2?2，∴k??255 5