解一：作直线l：y??x，
如图：7-53-3
向下平移与圆相切和相离时有
x?y?m?0恒成立，
由点到直线的距离公式
?1?m?1??m?2?1。 得?2?m?0?轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。 分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。 但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由∴直线BC的方程为：
yPCA(4,1)kl?3，得：kBC??立，解得：D?1， 31y??x?4，将其与直线y=3x-1联B(0,4)3?37?,?,其中D为BC?22?中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。
显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点直线AC方程为：2x?y?9?0，与L方程联立解得P的坐例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知
所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。 由例1知点C关于L的对称点为B（0,4）， 故直线AB的方程易求得为：
oP'x 共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：
标为（2,5）。 其被直线L反射后经过点A(4,1)，
y(0,4)B识易知：点B在反射光线上，故
3y??x?4。它即为反射光线4方程。
例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线Pox?y?1?0，求BC所在的直线方程。
CA(4,1)的分别方程为
x?2y?0和
分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。
解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与
BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。
x198A1(,?),A2(?3,0)（过程略）
55于是BC方程可求得为：4x?17y?12?0
利用对称性可求得：
直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光线L所在直
线方程．
2222
解：已知圆的标准方程是(x－2)＋(y－2)＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)＋(y＋2)＝1。 设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即d整理得12k2?|5k?5|1?k2?1．
3434?25k?12?0, 解得k??或k??．故所求的直线方程是y?3??(x?3)，或y?3??(x?3)，
4343即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
2．已知圆C：x2?y2?2x?4y?4?0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出
直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）
．解：圆C化成标准方程为:(x?1)2?(y?2)2?32 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
11
由于CM⊥L，∴kCM?kL=－1 ∴kCM=b?2??1，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
a?1直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=b?a?3∵以AB为直径的圆M过原点，∴MA?MB?OM
2MB?CB?CM222?9?(b?a?3)，2OM?a2?b2
22(b?a?3)2 ∴9??a2?b2 ② 把①代入②得 2a2?a?3?0，∴a?3或a??1
22当a?3,时b??5此时直线L的方程为：x－y－4=0；当a??1,时b?0此时直线L的方程为：x－y+1=0
22故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
?y2?20截得长为62的弦所在的直线方程．
解：设弦所在的直线方程为y?4?k(x?6)，即kx?y?6k?4?0①
3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆x则圆心（0，0）到此直线的距离为d?|6k?4|．
21?k2y因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△， 所以(|6k?4|1?k2)2?(32)2?20．
Ox由此解得k??7或k??1． 17 y?2?0．
224．（12分）已知圆C:?x?1???y?2??25及直线l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4.?m?R?
（1）证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．
．解:(1)直线方程l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4,可以改写为m?2x?y?7??x?y?4?0,所以直线必经过直线
代入①得切线方程?7x?y?6?(?7)?4?0或
1717?x?y?6?(?1)?4?0，即7x?17y?26?0或x?P
?2x?y?7?0,?x?3,
解得?即两直线的交点为A(3,1) 又因为点A?3,1?与圆心C?1,2?的2x?y?7?0和x?y?4?0的交点.由方程组?x?y?4?0y?1??
距离d?5?5,所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交.
(2)连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C相交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长.此
时,AC?5,BC?5,所以BD?225?5?45.即最短弦长为45.
1,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为:y?1?2?x?3?,即2x?y?5?0. 25（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值． 又直线AC的斜率kAC???y1?y2?4?x2?y2?x?6y?m?0?2解：由??5y?20y?12?m?0 ??12?m y1y2??x?2y?3?0?5?又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2= 4m?27
y54m?2712?m∴??0 解得m=3.
55
2
2
PQOx6.已知圆C：(x+4)+y=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由. 【解】设圆D的方程为x2?(y?b)2?r2(r?0),那么M(0,b?r),N(0,b?r).
因为圆D与圆C外切, 所以2?r又直线MA,NA的斜率分别为
?16?b2?b2?r2?4r?12.
b?rb?rkMA?,kMB?.
2323
12
b?r ?tan?MAN43r43r?2323???3??MAN?.为定值
b?rb?r12?b2?r24r31?2323227．（14分）已知圆x?y?x?6y?m?0和直线x?2y?3?0交于P、Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及
?半径长． 解：将x?b?r?3?2y代入方程x2?y2?x?6y?m?0，得5y2?20y?12?m?0．
m?12设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则y1,y2满足条件：y1?y2?4,． y1y2?5∵ OP⊥OQ, ∴x1x2?y1y2?0,而x1?3?2y1，x2?3?2y2，∴x1x2?9?6?y1?y2??4y1y2．
15，3），半径r?．
2222228．（14分）求圆心在直线x?y?0上，且过两圆x?y?2x?10y?24?0，x?y?2x?2y?8?0交点的圆的方程．
∴m?3，此时Δ
?0，圆心坐标为（－
解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组
?x2?y2?2x?10y?24?0?22?x?y?2x?2y?8?0，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）． 因所求圆心在直线x?y?0上，故设所求圆心坐标为(x,?x)，则它到上面的两上交点
x2?(2?x)2，
2 （－4，0）和（0，2）的距离相等，故有(?4?x)2?(0?x)2?
即4x??12，∴x??3，又r?2． y??x?3，从而圆心坐标是（－3，3）
(?4?3)2?32?10， 故所求圆的方程为(x?3)?(y?3)?10．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为2x?y?3?0，
y?0交点（－3，3）就是圆心，又半径r?10，
22故所求圆的方程为(x?3)?(y?3)?10．
它与直线x?设所求圆的方程为(x?a)2解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
?(y?b)2?r2，因两点在此圆上，且圆心在x?y?0上，所以得方
?a??3?(?4?a)2?b2?r2?程组 ?a2?(3?b)2?r2，解之得?b?3，
??a?b?0?r?10??故所求圆的方程为(x?3)2
?(y?3)2?10．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为x2?y2?2x?10y?24??(x2?y2?2x?2y?8)?02(1??)2(5??)8(3??)x?y??0．
1??1??1??1??5??因圆心在直线x?y?0上，所以??0，解得???2．
1??1??即
x2?y2?(???1)，
1??5??可知圆心坐标为(,?)．
1??1??将???2代入所设方程并化简，求圆的
方程x2?y2?6x?6y?8?0
9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）
当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．
r
⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所以2b2＝a2＋1；
2|a－2b|
(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝ ，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1．
5
? a＝b，? a＝1，? a＝－1，所以?所以? 或? 22
? 2b＝a＋1，? b＝1，? b＝－1．
所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．
13
10 已知圆C与圆x
2?y2?2x?0相外切，并且与直线x?3y?0相切于点Q(3,?3)，求圆C的方程
设圆C的圆心为(a,b)，
?b?3?3??a?3a?4或?a?0则????b?0?b??43?r?2或r?6
a?3b???(a?1)2?b2?1??2?2222所以圆C的方程为(x?4)?y?4或x?(y?43)?36
11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为
5，求该圆的方程. 5.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0. |y1－y2|=|x1－x2|=
(y1?y2)2?4y1y2?2r2?a2=2，得r2=a2+1 ①令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
②由①、②，得2b2－a2=1
(x1?x2)2?4x1x2?2r2?b2?2r，得r2=2b2
|a?2b|55，得d=，即a－2b=±1. ?555?2b2?a2?1,?2b2?a2?1?a??1?a?1综上可得?或?解得?或?于是r2=2b2=2.
?b??1?b?1?a?2b?1;?a?2b??1又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1 又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝
2r，故r2＝2b2，
|a?2b|， 5所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，
?a?b?a?1?a??1由此有? 解方程得?或? 由于r2＝2b2，知r＝2，
22?b?1?b??1?2b?a?1于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝
|3?4?8|＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
5经过两已知圆的交点的圆系及应用
2 在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆x和x2?y2?6x?4?0?y2?6y?28?0的交点，并且圆心在直线x?y?4?0上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：
方法—：先求出两已知圆交点
A1??1,3?,A2??6,?2?，再设圆心坐标为B(b?4,b)，根据A1B?A2B?r，可求出圆心坐标及
EA1??1,3?,A2??6,?2?，再设所求圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0,其圆心为??D2,?2?，
半径r，于是可得所求圆方程。
方法二：先求出两已知圆交点代入x?y?4?0，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求
圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。
14
弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.
【思考与分析】 一条直线和圆相交，直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.
解法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B坐标即方程组
2
从方程组中消去x可得：5y-8y+2=0，
的解，
又A、B在直线l∶x+2y-2=0上，即x1+2y1-2=0，x2+2y2-2=0，A
∣AB∣，∣CA∣=
，∣CM∣为原点到直线l∶x+2y-2=0
解法二：作CM⊥AB于M，M为AB中点，在Rt△CMA中，∣AM∣=的距离，即∣CM∣＝
，
【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点，求∣AB∣的一般办法，设已知直线为l∶y=kx+b，与已知曲线C的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y1=kx 1+b，y2=kx2+b，即y1-y2=k（x1-x2），
这两个公式一般称为直线与曲线相交所得线段长公式，显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标（x1，y1）、（x2，y2）有关，而与曲线C本身是什么曲线无关，因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用.
解法二针对圆本身的特点给出了简单的解法，由于解析几何本身解决的是几何图形的问题，因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和运用（例如凡有关圆的弦的问题，应该注意弦心距）往往会找到解题的捷径 圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径
【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: （1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0. 【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方 ∴ 圆心为半径为r=
2
（2）配方得（x+a）+y2=a2，
.
∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）.
222
（3）配方得x+（y+a）=1+a，
∴ 圆心为（0，-a），半径为r=
22
【拓展】 讨论方程x+y+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状. 解： 配方得x2+（y+a）2=a2-1，
当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=的圆； 当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）； 当-1 【例2】 已知一个圆经过两点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程. 【思考与分析】 求圆的方程，需要确定圆心和半径，我们可以先设定圆心的坐标，再利用它到A、B两点的距离相等来确定，从而求得 15