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九年级数学上期末专题第24章圆解答题综合培优训练（有答案） 【期末专项复习】第24章： 圆 解答题综合培优训练
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12， （1）若CD＝4，求⊙O的半径； （2）若AD+CD＝30，求AC的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在上取点G，连结CG，DG，AC．求证：∠DGC＝2∠BAC．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点， （1）求证AB是圆的直径； （2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； （3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
5．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC． （1）证明BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求AF、AE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
7．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°． （1）如图1，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数； （2）如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2AC，半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到． （1）求证：AB为⊙C的切线； （2）求图中阴影部分的面积．
9．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于
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点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB． （1）求∠AOB的度数； （2）若线段CD的长为2cm，求的长度．
10．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P． （1）求劣弧PC的长（结果保留π）； （2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）．
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°． （1）求证：EM是⊙O的切线； （2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
12．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F． （1）若∠A＝40°，求∠DEF的度数； （2）AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径． 13．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点． （1）求证：DE＝EC； （2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
14．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D， （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求CD的长． 15．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB． （1）求证：AB＝CD； （2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．
17．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F． （1）如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数； （2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
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参考答案 1．（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H， ∵DE是⊙O的切线， ∴OE⊥DE． 又∵∠D＝90°， ∴四边形OHDE是矩形， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OCH中， OC2＝CH2+OH2， ∴r2＝（r?4）2+144， ∴半径r＝20．
（2）解：∵OH⊥AD， ∴AH＝CH． 又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD?CH）＝30． ∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15， ∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9． ∴AC＝2CH＝18．
【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度． 2．（1）证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD， ∵CD＝AC， ∴AB＝BD， ∴∠A＝∠D， ∴∠CEB＝∠A， ∴∠CEB＝∠D， ∴CE＝CD．
（2）解：连接AE． ∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°?50°＝40°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．证明：连结AD，
∵弦CD⊥直径AB， ∴2∠BAC＝2∠BAD＝∠DAC（垂径定理）， 又∵∠DGC＝∠DAC（圆周角定理）， ∴∠BAC＝∠DGC， ∴∠DGC＝2∠BAC． 【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用． 4．解：（1）连结AD，∵D是中点， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴AB是⊙O直径；
（2）连结OE， ∵∠C＝60°，AB＝AB， ∴∠BAC＝60°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠OBE＝30°， ∵AB＝8， ∴OB＝4， ∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4．
（3）由（1）知AB是⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°， ∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠CAD， ∴∠CAB＝2∠EBC．