第7课时 简单的线性规划问题(1)
教学过程
一、 问题情境
探究下面的一个问题:
设t=2x+y,式中变量x, y满足下列条件
二、 数学建构
如何求t的最大值和最小值?
现在我们来解决上述问题,从变量x,y所满足的条件看,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC(如图1).
作一组与直线l0:2x+y=0平行的直线l:2x+y=t, t∈R(或平行移动直线l0),如图1.
在经过不等式组所表示的平面区域ABC内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点A(1, 1)的直线l1所对应的t值最小.所以tmax=2×5+2=12, tmin=2×1+3=3.
(图1)
诸如上述问题中,不等式组是一组对变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x, y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件(注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示).t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式,我们把它称为目标函数.
一般地,求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:我们刚才研究的就是求目标函数t=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.
那么,满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(即约束条件所表示的平面区域).在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(5, 2)和(1, 1)分别使得目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做该线性规划问题的最优解.
三、 数学运用
【例1】 给出下列命题:
① 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值; ② 线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域; ④ 线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中正确的是④.(填序号)
[处理建议] 学生思考、交流并展示,教师点评.注意对概念的辨析. 【例2】 已知变量x, y满足约束条件
求t=2x-y的最大值和最小值.
(见学生用书课堂本P53)
[规范板书] 解 作出可行域(如图).
(见学生用书课堂本P53)
(例2)
作一组与直线l0:2x-y=0平行的直线l:2x-y=t, t∈R(或平行移动直线l0).
在经过可行域内的点且平行于l的直线中,以经过点B(5, 2)的直线l2所对应的t值最大,以经过点C
的直线l1所对应的t值最小.
所以tmax=2×5-2=8, tmin=2×1-=-. 【例3】 (1) 已知变量x, y满足约束条件
若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在
点(3, 1)处取得最大值,则实数a的取值范围是(1, +∞);
(2) 已知平面区域D由以A(1, 3), B(5, 2), C(3, 1)为顶点的三角形内部及边界组成.若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则实数m=1.
(见学生用书课堂本P54)
[处理建议] (1) 可行域为四边形ABCD(如图),其中A(3, 1), kAD=1, kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a>0)中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅在点则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1,所以实数a的取值范围为(1, +∞).
处取得最大值,
(例3(1))
(2) 依题意,令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-.结合可行域可知,当直线x+my=0与直线AC平行时,线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值,而直线AC的斜率为-1,所以m=1.
*
【例4】 设实数x, y满足不等式组
(1) 画出点(x, y)所在的平面区域;
(2) 设a>-1,在(1)所求的平面区域内求函数f(x, y)=y-ax的最值. [规范板书] 解 (1) 原不等式组等价于
①或
②
满足不等式组①②的点(x, y)所在的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).