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平面向量与解三角形单元检测题
一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 符合题目要求的 )
,只有一项是
1．设 x， y∈R，向量 a＝ (x,1)， b＝ (1， y)，c＝(2，－ 4)，且 a⊥ c, b∥ c，则 |a＋ b|＝ (
C． 2 5 D． 10 A. 5B. 10
)
uuur uuur uuur 1 uuur
2．在△ ABC 中， N 是 AC 边上一点，且 AN ＝ 2 NC ，P 是 BN 上的一点，若 AP ＝ m AB ＋
2 uuur
9 AC ，则实数 m 的值为 (
11
)
A. 9 B. 3 C． 1 D． 3
3．已知点
3 A.
→ →
A(－ 1， 1)， B(1， 2)， C(－ 2，－ 1) ， D(3， 4)，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
2 2
3 15 B. 2
3 2 3 15
4．在直角坐标系
的可能值个数是 ()
C．－ 2 D．－ 2
→ →
xOy 中， AB＝ (2,1) ， AC＝ (3，k)，若三角形 ABC 是直角三角形，则 k
A ． 1 B． 2C． 3 D ． 4
5．已知向量 a 与 b 的夹角为
A ．5
120 °， |a|＝ 3， |a＋ b|＝ 13，则 |b| 等于
D ．1
(
)．
B ． 4 C．3
→ →
6．在四边形 ABCD 中， AC＝ (1， 2)，BD＝ (－ 4， 2)，则该四边形的面积为
A. 5
B ． 2 5 C． 5 D． 10
=a,
7．如图所示 ,非零向量 =b,且 BC ⊥ OA,C 为垂足 ,若 =λa( λ≠ 则0),λ =( )
2 2 2
8．在△ ABC 中 ,sin A≤ sinB+sin C-sin Bsin C, 则 A 的取值范围是
(A) （ 0, ]
( )
π 6
(B)[ , π） (C)(0,
π 6
π
]
(D)[
π 3
, π)
3
3π
→
9．设△ ABC 的内角 A， B，C 所对边分别为 a， b， c.若 b＋ c＝ 2a,3sin A＝ 5sin B，则角 C＝
π
A. 3
B.
2π
D.
5π
→ → →
存在唯一的实数 λ，使得 OC＝λOA＋ (1－ λ)OB成立，此时称实数 λ为 “向量 OC关于 OA和 OB的
3 C. 4
10．在平面直角坐标系中，若
6
O 为坐标原点，则
→
→
A， B， C 三点在同一直线上的等价条件为
→ →
终点共线分解系数 ”．若已知 P1(3, 1) ，P2(－ 1,3)，且向量 OP3与向量 a＝ (1,1) 垂直，则 “向量 OP3
→→
关于 OP1和 OP2的终点共线分解系数 ”为 ()
A ．－ 3 B． 3 C． 1 D ．－ 1
二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分 ,共 25 分 .请把正确答案填在题中横线上 )
uur
t 的值为 ________．
uuur
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 OA ＝ (－ 1， t)， OB ＝ (2,2) ．若∠ ABO＝90°，则实数
1
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12．已知 a＝ (1,2)， b＝ (1， λ)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 λ的取值范围是 13．已知正方形 ABCD 的边长为
14．设 e1，e2 为单位向量，且
→ →
＝ ________．
2，E 为 CD 的中点，则 AE·BD
π
e1，e2 的夹角为
3
，若 a＝e1 ＋ 3e2，b＝ 2e1，则向量 a 在 b 方向
上的射影为 ________．
15．若非零向量 a，b 满足 |a|＝ |b|，(2a＋ b) ·b＝ 0，则 a 与 b 的夹角为 ________． 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答时应写出必要的文字说明、 16．已知△ ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 A)， p＝ (b－ 2，a－ 2)．
证明过程或演算步骤 )
a， b，c，设向量 m＝ (a，b)，n＝ (sin B，sin
(1)若 m∥ n，求证：△ ABC 为等腰三角形；
π
，求△ ABC 的面积．
(2)若 m⊥p，边长 c＝ 2，角 C＝ 3
17．在△ ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
(1) 求证 :a,b,c 成等差数列 ;
(2) 若 C=
2π 3
,求
a b
的值 .
18．在△ ABC 中 ,a、b、 c 分别是角 A 、 B 、C 所对的边 ,且 a= c+bcos C.
1 2
2C
(1) 求角 B 的大小 ; (2) 若 S△ABC = 3 ,求 b 的最小值 .
19．在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 acos
＋ ccos
2A
＝ b.
3
2 2 2
(1) 求证： a， b， c 成等差数列； (2) 若∠ B＝60°， b＝ 4，求△ ABC 的面积．
20．△ ABC 为一个等腰三角形形状的空地 ,腰 AC 的长为 3(百米 ),底 AB 的长为 4( 百米 ).现决
定在空地内筑一条笔直的小路 的四边形和三角形的周长相等
EF(宽度不计 ),将该空地分成一个四边形和一个三角形 ,面积分别为 S1 和 S2.
,设分成
(1) 若小路一端 E 为 AC 的中点 ,求此时小路的长度 ; (2) 若小路的端点 E、 F 两点分别在两腰上 ,求
S1
的最小值 .
S2
2 cos B cosC 。
cos A 2a ；
21．已知△ ABC 的角 A， B， C 所对的边分别是 足 sin B sin C
a， b， c，且满
sin A
（1）证明： b c
（2）如图，点 O 是△ ABC 外一点，设 OA=2OB =2 ，当 b
AOB (0 ) ，
c 时，求平面四边形 OACB 面积的最最大值。
2
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参考答案： 1． B 由题意可知
2x－4＝ 0，
解得
x＝ 2，
－ 4－ 2y＝ 0，
故 a＋ b＝ (3，－ 1)， |a＋ b|＝ 10.
uuur 1 uuur
y＝－ 2.
uuur
1 uuur uuuruuur
2 uuuruuur
2
2.选 B
如图，因为 AN ＝ 2 NC ，所以 AN ＝ 3 AC ， AP ＝ m AB ＋ 9 AC ＝ m AB ＋ 3
uuur
m＋ 2
＝ 1，所以 m＝ 1
.
AN ，因为 B， P， N 三点共线，所以
3 3
→ →
→ → 3. A 解析
AB＝ (2， 1)， CD＝ (5， 5) ，所以 AB在 CD 方向上的投
.
→ →
4. B 解析： .若∠ A→ →＝ 90°，则 AB ·AC→＝ 6＋ k＝ 0， k＝－ 6；
→ →
若∠ B＝ 90°，则→ → AB·BC＝ AB·(AC－AB )＝ 0， 6＋ k－ 5＝ 0， k＝－ 1；
→ → ·(AB－AC)→ 2
若∠ C＝90°，则 AC·CB＝ AC ＝0， k － k＋ 3＝ 0 无解． ∴综上， k 可能取－ 6，－ 1 两个数．故选 B. 5. B 解析 向量 a 与 b 的夹角为
120 °， |a|＝ 3， |a＋ b|＝ 13，
则 a·b＝|a||b| cos· 120 °＝－ |b|， |a3＋ b| ＝ |a|
2
＋2 2a·b＋|b| .
2
2
2
所以 13＝ 9－ 3|b|＋ |b|，则 |b|＝－ 1(舍去 )或 |b|＝ 4. → →
→ →
6. C 解析 因为 AC ·BD ＝0，所以 AC⊥ BD .
故四边形 ABCD 的面积
S＝1 |AC||BD |→ → ＝1
× 5×2 5＝5.
2
2 7. A【解析】 . ⊥
,即 ⊥ ,所以 (
-2
) · =0, 所以 | |- · =0,
2
2
即 λ|a| -λ a· b=0,又λ≠解0,得 λ= .
2
2
2 2 2 2
8 C.解析 : 根据正弦定理b ,由 sin A≤ sinB+sin C-sin Bsin C 得 a ≤b+c -bc, 根据余弦定理 cos A=
2
c2 a2
≥ bc = 1 ,
2bc 2bc 2
又∵ 0 3 9. B 【解析】 5 由 3sin A7 ＝ 5sin B，得 3a＝ 5b.又因为 b＋ c＝ 2a， 所以 a＝ 3b， c＝3b， 2 2 22 2b 5 2 7 ＋ b － 所以 cos C＝ a ＋ b － c 3 b ＝－ 1 .因为 C∈ (0， π)，所以 C2π ＝ 2ab ＝ 3 2× b5 ×b 2 3. → 3 → → 10. D. 解析：设→→ OP3＝ (x， y)，则由 OP3⊥ a 知 x＋ y＝ 0，于是 OP3＝(x，－ x)， → 设 OP3＝ λOP1＋ (1－ λ)OP2， (x，－ x)＝ λ(3,1) ＋(1－ λ)(－ 1,3)＝ (4λ－ 1,3－ 2λ)． --- 3