课时分层作业 七十六 证明不等式的基本方法
(45分钟 60分)
1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+.
【证明】因为-(+)
=+=+
=
所以原不等式成立.
=≥0,
【一题多解】由于÷(+)
=
=
=-1≥-1=1. >0.
又a>0,b>0,
所以+≥+.
2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:
++>3.
【解题指南】根据a,b,c全不相等,推断出与,与,与全不相等,然后利用基本不等式求得
+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得证.
【证明】因为a,b,c全不相等,
所以与,与,与全不相等,
所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6,
所以++>3,
即++>3.
【变式备选】(2018·南阳模拟)已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1]. (1)求k的值.
(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9.
【解析】(1)因为f(x)=k-|x-3|, 所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k,
由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k]. 因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1.
(2)由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数.
所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++
=3+++
≥3+2
+2
+2 =9.
- 2 -
当且仅当a=2b=3c时,等号成立. 因此a+2b+3c≥9.
3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1,
求证:·≥9.
【解题指南】可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式. 【证明】因为x>0,y>0,
所以1=x+y≥2.所以xy≤.
所以=1+++
=1++=1+≥1+8=9.
当且仅当x=y=时,等号成立. 【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0,
所以=
=
=5+2
≥5+2×2=9.
当且仅当x=y=时, 等号成立.
4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子 ①-1>2-; ②2->-; ③->-2; ④-2>-;
⑤
->2-.
(1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式. (2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明.
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