微积分基本定理的理解与应用
微积分基本定理揭示了定积分与不定积分的内在联系，运用其求定积分
?baf(x)dx，是
求f（x）的一个原函数F（x），并计算其在端点的函数值的差，与用定积分的定义计算定积分比较显得简单，具有比较大的优越性，为计算定积分提供了一种十分简捷的方法．
一．微积分基本定理的理解
1．微积分基本定理：一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F?(x)=f（x），那么
?ba． f(x)dx=F（b）－F（a）
2．微积分基本定理中，通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．一般地，有
?ba．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，f(x)dx=F（x）|ba=F（b）－F（a）
要按步骤进行，以免发生符号错误．
3．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有
?ba． f(x)dx=[F（x）+C]|ba=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）
4．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有
?ba． f(x)dx=[F（x）+C]|ba=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）
5．利用微积分基本公式求定积分．其步骤为：第一步：求f（x）的一个原函数F（x）；
第二步：计算F（b）－F（a）．
6．应用微积分基本公式还可以得到定积分的一些简单性质：如：
（1）（2）
?aabf(x)dx=0，这是因为?f(x)dx=F（a）－F（a）=0；
aa?a，而?f(x)dx=Ff(x)dx=－?f(x)dx，这是因为?f(x)dx=F（b）－F（a）
bababaa（x）|b=F（a）－F（b）=－[F（b）－F（a）]．
二．微积分基本定理的应用
1．计算问题
利用微积分基本定理求函数f（x）在某个区间上的定积分问题是定积分部分最重要的应用之一．有时是对单一的函数进行积分，有时也对分段函数进行积分，要注意加以区分和应用．
例1．（2008年高考山东卷理，14）设函数f（x）=ax+c（a≠0），若
2
?10f(x)dx=f（x0），
0≤x0≤1，则x0的值为________．
分析：求函数f（x）在某个区间上的定积分，关键是求出函数f（x）的一个原函数，再加以计算，同时结合取值条件加以确定．
解析：由于
?101a3af(x)dx=?(ax?c)dx=（x+cx）|=+1=f（x0）=ax02+c，
003312则有x02=
133，由于0≤x0≤1，解得x0=，故填答案：． 333点评：主要考查利用微积分基本定理来计算定积分与函数值问题．计算定积分应注意两点：一是正确选择被积函数，二是注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F（b）－F（a）．
变形练习1：若
?a11(2x?)dx=3+ln2，且a>1，则a的值为________．
x答案：2． 2．证明问题
利用微积分基本定理的几何性质、定义和运算性质等，可以用来处理一些相关的证明问题．
例2．若函数f（x）=ax+b（a≠0），且
?10f(x)dx=1，求证：[f(x)]dx>1．
0?12分析：利用微积分基本定理，通过积分作为媒介，结合积分的计算作为条件，再结合相关的计算和函数的性质达到证明的目的．
解析：由于
?1011211f(x)dx=?(ax?b)dx=（ax+bx）|=a+b，所以a+b=1，
002221所以[f(x)]dx=
0?12?(ax?b)012dx=(ax?2abx?b)dx
0?1222=（
1123111212
ax+abx2+b2x）|=a2+ab+b2=（a+b）2+a=1+a>1，
03321212故原不等式成立．
点评：通过微积分基本定理，综合定积分的几何性质与对应的运算，结合函数等相关的性质，可以解决相关的证明问题．
变形练习2：证明：函数f（a）=答案：由于
?(6x012?4ax?a2)dx的最小值为1．
10?10(6x2?4ax?a2)dx=(2x3?2ax2?a2x)|=2+2a+a2，
所以f（a）=2+2a+a2=（a+1）2+1， 那么当a=－1时，函数f（a）=
?(6x012?4ax?a2)dx的最小值为1，
故原结论成立． 3．应用问题
利用微积分基本定理和定积分的相关知识，可以用来处理有关图形的面积、曲面的体积、运动的路程、力的做功等几何学中或物理学中的一些实际应用问题．
例3．（2008年高考海南宁夏卷理，10）由直线x=
11，x=2，曲线y=及x轴所围图形2x的面积为________．
分析：利用微积分基本定理和定积分的相关知识，根据曲边梯形的面积公式，确定对应曲线加以求解．
解析：如图，所围图形的面积为S=
2112dx=lnx=ln2－ln=ln=ln4=2ln2， |1?12x12222故填答案：2ln2．
点评：主要考查微积分基本定理来解决定积分的简单运算和应用．以y=f（x）（a≤x≤b）为曲边的曲边梯形的面积S为S=|f(x)|dx．在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x
a?b轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
变形练习3：计算由曲线y2=2x，y=x－4所围图形的面积S．
y2y2y34答案：所求图形的面积S=?(y?4?)dy=(?4y?)|=18．
?2226?2 4通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步
学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．