第三章 光学成像系统的频率特性 习题
[3.1]/ 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数： t?r??式中，r?1?r?21?co?srci???rc? 2l??x2?y2，l为圆形衍射屏的半径。问：
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？
（2） 给出此屏的焦距的表达式。
（3） 若用它做成像元件，有什么缺点？
解： (1) 此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：
22?2222x?y111??t?x,y????e?i??x?y??ei??x?y??circ??4l?24????? ?式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变换因子e?ik22x?y2f??比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会
聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因
?x2?y2子circ??l???表明，该屏具有半径为l的圆形孔径。 ??(2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子作比较，便得相应的焦距，即
e?ik22(x?y)2f1
1?i??x2?y2?k?k?对于e项，令??，则有f1?42???2f1?0，相当于会聚透镜。
1i??x2?y2?k?k???0，相当于发散透镜。 对于e项，令???，则有f1??42???2f1对于
1这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为f3??。 2(3) 由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远（直接透射光）。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长?成反比。若用白光作光源，则在像面上可以看到严重的色散现象。
附图3.1 习题[3.1]图示
[3.2] 试由式（3.1.10）直接导出式（3.1.11）。
解：令P(x,y）= 1,将式（3.1.10）积分号内各指数因子展开，利用d2?f，消去
?ik(?'2??'2)2fe 后，有：
ki(x2?y2)2f??ik'2'2k222?k(???)i(???)?i(??'???')?i(x?'?y?')2d12d1?d12f1g(x,y)?2e??d1d21?e 2??d1d2令
???????????f(?,?)eieeed?d?d?'d?''ki(x2?y2)2f??[??f(?,?)e???k22(???)2d1d?d?]ei?'2'2?x?y(???)?i2?[(?)??('?)?]?d1?d1?f?d1?fed?'d?'
fx??x?y?, fy???d1?f?d1?f
并应用公式： 及缩放定理，有
Fe?i?(x2?y2)??e?????i?2e2?i?(fx2?fy)
i?d1i2f(xg(x,y)?2e??d1d2k2?y2)f(?,?)e?ii??x?y(?2??2)?i??d1[(?)2?(?)2]?d1?d1?f?d1?fed?d?
1i2f(x?y?ei?fkk22)??2???f(?,?)e?d122(x?y)?i2?(x??y?)2?f?f?fed?d?
?i2?(???)1i2f(1?f1)(x?y)??f?f?ef(?,?)ed?d?
????i?fd2xy再令
fx'?x/?f, fy'?y/?f
即得式（3.1.11）。
[3.3]/ 用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。透镜直径为5 cm，焦距为20 cm，在透镜后面10 cm的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为： t?x,y??1?xy??1?co2s?f0x?rec?t,? 2?LL?假定L=1 cm,f0?100线/cm,大致画出焦平面上沿x轴的强度分布，标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。
解：/ 由附图3.2可知，物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其
附图3.2 习题[3.3]图示
最大线度（对角线方向）为2L?2cm?2.5cm，故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分为：
1i2kd?x2f?y2f?fUf?xf,yf??e?F?t?x,y??i?dd1i2kd?x2f?y2f?fL2?yf? ?e??sinc?L???i?dd2??d????Lxf ?sinc?????d强度分布为：
22?1??xf??1??xf?????sincL?f?sincL?f?????0??0????2???d??2???d?????fL?2?Lyf?I?xf,yf? ????d????2?d2??sinc?????
?2?Lxf?12?L?12?L?? ?sinc???d???4sinc??d?xf??df0???4sinc??d?xf??df0???????????这里因f0??2，故未考虑3个sinc函数间的重叠。代入题设数据，得： L2yf??1?2?I(xf,yf)???? ?sinc??10???10??