第29章 图论初步
29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．
解析 2009这个数目较大，我们先考虑：某小型晚会有5人参加，已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明：必有一个人至少认识其中的二个人．
用5个点v1、v2、v3、v4、v5表示5个人，如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识），就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说，由于v1所表示的人至少认识其他4个人的一个，不妨设v1与v2认识，即v1和v2相邻，同样，设v3与v4相邻，如图所示．对于顶点v5来说，无论它与v1、v2、v3、v4哪个相邻，都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决．
v1v5v2v3v4
用同样的方法可以证明，对2009个人来说，命题成立．其实，把2009换成任意一个大于l的奇数，命题也成立．
29.1.2* 在一间房子里有n（n>3）个人，至少有一个人没有和房子里每个人握手，房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？
解析 用n个顶点表示n个人，若某两个人握过手，就在他们相应的顶点之间连一条边，这样就得到了一个图G．因为不是任何两个人都握过手，所以G的边数最多是完全图Kn（即n个点每两点之间恰连一条边）的边数减1，去掉的那条边的两个端点v和v?所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是n?2．
29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话．
解析 用9个点v1，v2，…，v9表示这九名数学家，如果某两个数学家能用某种语言对话，就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是：存在三个顶点vi、vj、vk，使得边（vi，vj）和（vi，vk）是同色的．这样的，vi、vj、vk这三名数学家就能用同一种语言对话．
下面就顶点v1，分两种情形：
（1）v1与v2，…，v9均相邻，由于每个数学家至多能说三种语言，所以每一个顶点引出的边的颜色至v2）v3）多是三种．根据抽屉原理知，从v1发出的8条边中至少有2条是同色的，不妨设为（v1，、（v1，．于
是v1、v2、v3所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a）．
v2v3v1v9(a)v1v2(b)v3v4v5v6
v1514637v4v51110129v8v22v3(c)v68v7
（2）v1与v2，v3，…，v9中的至少一点不相邻，不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中，至少有两个人可以用同一种语言对话，所以，v3，v4，…，v9中的每一个不是和研相邻就是和功相邻，根据抽屉原理可知，其中至少有4个点与v1或v2相邻．不妨设v3、v4、v5、v6与v1相邻，如图（b），再对v1引出的这4条边用抽屉原理可得，至少有2条边是同色的，设为（v1，v3）、（v1，v4）．于是v1、v3、v4所表示的三名数学家能用同一种语言对话．
评注 若本题中的九改成八，则命题不成立．反例如图（c）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种．
29.1.4** 证明任何一群人中，至少有两个人，它们的朋友数目相同．
解析 设任意给定的一群人有n个．用顶点表示这n个人．当且仅当顶点u、v表示的两个人是朋友时令u、v相邻，得到n个顶点的简单图G．
对G中任意x，由于它可以和其他n?1个顶点相邻，所以顶点x的度d（x）满足0≤d?x?≤n?1，即图G的顶点度只能是n个非负数0，1，…，n?1中的一个．如果图G的顶点的度都不相同，则图G具有0度顶点u和n?1度顶点v．n?1度顶点和G中其他顶点都相邻，特别地和顶点u相邻．但0度顶点u和G中任何顶点都不相邻，矛盾．这就证明了G中必定有两个顶点，它们的度相同．也就是说，这群人必有两个人，他们的朋友一样多．