2006年安徽高考数学试题(理科)及答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

理科数学

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1?3i等于( ) 3?iA.i B.?i C.3?i D.3?i

(1)复数解:1?3i1?3i1???i故选A 3?i?i(1?3i)?i2(2)设集合A?xx?2?2,x?R,B?y|y??x,?1?x?2,则CR?AB?????等于( )

A.R B.xx?R,x?0 C.?0? D.? 解:A?[0,2],B?[?4,0],所以CR?A2??B??CR{0},故选B。

x2y2??1的右焦点重合,则p的值为( )(3)若抛物线y?2px的焦点与椭圆 62A.?2 B.2 C.?4 D.4

x2y2??1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0),则解:椭圆62p?4,故选D。

22?a?b?a?b(4)设a,b?R,已知命题p:a?b;命题q:?,则p是q成立的??2?2?2( )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

22?a?b?a?b解:命题p:a?b是命题q:?等号成立的条件,故选B。 ??22???2x,x?0(5)函数y??2 的反函数是( )

?x,x?0?2?x?x2x,x?0,x?0,x?0????2x,x?0??A.y??2 B.y?? C. D.y?? y??2????x,x?0???x,x?0??x,x?0???x,x?0??解:有关分段函数的反函数的求法,选C。

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(6)将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a??????,0??6?平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )

A.y?sin(x?C.y?sin(2x??) B.y?sin(x?) 66) D.y?sin(2x?) 33??????,0??6??平移,平移后的图象所对应的解析式为y?sin?(x?),由图

67??3??)?象知,?(,所以??2,因此选C。 1262(7)若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则l的方程为( ) A.4x?y?3?0 B.x?4y?5?0 C.4x?y?3?0 D.x?4y?3?0 解:与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0,即y?x4在某一点的导数为4,而y??4x3,所以y?x4在(1,1)处导数为4,此点的切线为4x?y?3?0,故选A

sinx?a(0?x??),下列结论正确的是( ) (8)设a?0,对于函数f?x??sinx解:将函数y?sin?x(??0)的图象按向量a???A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值

sinx?a(0?x??)的值域为函数

sinxaay?1?,t?(0,1]的值域,又a?0,所以y?1?,t?(0,1]是一个减函减,故选B。

tt(9)表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

解:令t?sinx,t?(0,1],则函数f?x??12222? ? B.? C.? D.33333a2解:此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以由8??23知,a?1,

4则此球的直径为2,故选A。

?x?y?1?0?(10)如果实数x、y满足条件?y?1?0 ,那么2x?y的最大值为( )

?x?y?1?0?A.2 B.1 C.?2 D.?3 解:当直线2x?y?t过点(0,-1)时,t最大,故选B。 (11)如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值,则

A.( ) A.?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B.?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形

C.?A1B1C1是钝角三角形,?A2B2C2是锐角三角形 D.?A1B1C1是锐角三角形,?A2B2C2是钝角三角形

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解:?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则?A1B1C1是锐角三角形,若?A2B2C2是

????sinA?cosA?sin(?A)A?211??22?A12???????A2?B2?C2?,锐角三角形,由?sinB2?cosB1?sin(?B1),得?B2??B1,那么,

222??????sinC?cosC?sin(?C)C?211??22?C12??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。

(12)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概..率为( )

1234 B. C. D. 77773解:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形,要得直角非等腰三角形,..

A.

则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得所以选C。

24,C832006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

注意事项:

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。 ..............二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置。

3?21?3x(13)设常数a?0,?ax?展开式中的系数为,则?2x??lim(a?a2?????an)?_____。

n??4解:Tr?1?Car44?rx8?2rx1?r2,由x8?2rx1?r231r4?ra=知a=,所以?x3,得r?2,由C4221lim(a?a2?????an)?2?1,所以为1。 n??11?2BCD中,AB?a,AD?b,AN?3NC,(14)在AM为BC的中点,则MN?_______。

b表示) (用a、解:由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b),AM?a?1b,所以2MN?3111(a?b)?(a?b)??a?b。 4244(15)函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1,若f?1???5,则f?x?f?f?5???__________。

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11解:由f?x?2??f?x?得f?x?4??f?x?2??f(x),所以f(5)?f(1)??5,则f?f?5???f(?5)?f(?1)?11f(?1?2)??5。

D1 (16)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方

体的一个顶点A在平面?内,其余顶点在?的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点D

C 中的一个,则P到平面?的距离可能是:

①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7

?以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号A ..

) 解:如图,B、D、A第16题图1到平面?的距离分别为1、2、4,则D、A1的中

点到平面?的距离为3,所以D51到平面?的距离为6;B、A1的中点到平面?的距离为2,所以B1到平面?的距离为5;则D、B的中点到平面?的距离为32,所以C到平面?的距离为3;C、A1的中点到平面?的距离为

72,所以C1到平面?的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选①③④⑤。

三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

(17)(本大题满分12分)已知3?4????,tan??cot???103 (Ⅰ)求tan?的值;

5sin2??11cos2?(Ⅱ)求

2?8sin?2cos2?2?8的值。

2sin???????2??解:(Ⅰ)由tan??cot???1023得3tan??10tan??3?0,即

tan???3或tan???13,又3?4????,所以tan???13为所求。

5sin2??8sin?cos??11cos2?1-cos??4sin??111+cos??8(Ⅱ)222?85222sin???2=?2 ????cos?2??=5?5cos??8sin??11?11cos??168sin??6cos?8tan?22cos?=?22cos????6?22=?526。

(18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要

对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用?表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

(Ⅰ)写出?的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (Ⅱ)求?的数学期望E?。(要求写出计算过程或说明道理) 解:(Ⅰ) ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第9页

C1 A1

B1

B

P 112232211 151515151515151515(Ⅱ)E??1?

112232221?2??3??4??5??6??7??8??9??5P 151515151515151515F

H A

O B 第19题图

C D E

(19)(本大题满分12分)如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF

所在平面外一点,PA?1,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

(Ⅰ)证明PA⊥BF;

(Ⅱ)求面APB与面DPB所成二面角的大小。

解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,ABF为等腰三角形, ∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。

(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴AO?1,2DO?33,BO?。 22过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以?AHD为所

求二面角平面角。

1721AO在AHO中,OH=,tan?AHO?。 ?2=7OH2122173DO21在DHO中,tan?DHO?; ?2?OH2217721?4?282221而tan?AHD?tan(?AHO??DHO)? ??7213211??2221(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,?0,0),D(0,2,0),∴PA?(0,?,?1),PB?(13,0),B(,223,0,?1),PD?(0,2,?1) 2?1?y1?1?0??2设平面PAB的法向量为n1?(x1,y1,1),则n1?PA,n1?PB,得?,

?3x?1?01??223n1?(,?2,1);

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