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第一部分 课后习题
1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
A B C 1 235 333 432 2 117.5 166.5 216 3 78.3 111 144 4 58.75 83.25 108 5 … … 86.4 … 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 身长（cm） 重量（g） 胸围（cm） 36.8 765 24.8 31.8 482 21.3 43.8 1162 27.9 36.8 737 24.8 32.1 482 21.6 45.1 1389 31.8 35.9 652 22.9 32.1 454 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?应
多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
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5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工
出尽可能多的圆盘。
6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7. 举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最大体重抓举 （kg） 挺举 （kg） 总成绩（kg） （kg） 54 59 64 70 76 83 91 99 108 〉108 132.5 137.5 147.5 162.5 167.5 180 187.5 185 195 197.5 155 170 187.5 195 200 212.5 213 235 235 260 287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430 457.5
第一部分 课后习题答案
1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表： 宿舍 A B C 总计 （1） 3 3 4 10 （2） 2 3 5 10 （3） 2 3 5 10 （1） 4 5 6 15 （2） 4 5 6 15 （3） 3 5 7 15 2. （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也
包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为
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形状一定时一般有s?w大于0的常数）。 （2）单位重量价格c?2/3，故商品的价格可表为C??w??w2/3??（?,?,?为
C????w?1/3??w?1，其简图如下： w
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身
长l的立方成正比，即w?k1l，k1为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是
3w?k2d2l，k2为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
实际重量（g） 模型765 482 1162 737 482 1389 652 454 w?k1l3 模型727 469 1226 727 483 1339 675 483 w?k2d2l 730 465 1100 730 483 1471 607 483 基本上满意。
4. 将管道展开如图：
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