P?Px?Py?Pz222 (2-6-4)
图2-25
例2-4 图2-25为一坝顶圆弧形闸门的示意图。门宽b=6m，弧形门半径R=4m，此门可绕O轴旋转。试求当坝顶水头H=2m、水面与门轴同高、闸门关闭时所受的静水总压力。
解：水的重度γ=9.8kN/m3，水平分力为
Px?22?Hb2?9.8?2?62=117.6(kN)
铅直分力等于压力体ABC内水重。压力体ABC的体积等于扇形AOB的面积减去三角形BOC的面积，再乘以宽度b。已知BC=2m，OB=4m，故∠AOB=30°。
扇形AOB的面积=三角形BOC面积=
3036012112πR=
2
33.1434=4.19(m)
12?2?4cos30=3.46(m)
3
022
BC?OC?2
压力体ABC的体积=(4.19-3.46)36=0.7236=4.38(m) 所以，铅直分力Pz=9.834.38=42.9(kN)，方向向上。 作用在闸门上的静水总压力P为
P?Px?Pz?2222117.6?42.9?125.2?kN?
P与水平线的夹角为α，则
tan??PzPx?42.9117.6=0.365 α=20.04°
因为曲面是圆柱面的一部分，各点的压强均与圆柱面垂直且通过圆心O点，所以总压力P的作用线亦必通过O点。
§2-7 潜体及浮体的平衡与稳定性
1．物体的沉浮
一切沉没于液体中漂浮于液面上的物体都受有两个力作用，即物体的重力
G和所受的浮力Pz。重力的作用线通过重心，竖直向下；浮力的作用线通过浮心(Buoyancy Center)，竖直向上。物体的重力G与所受浮力Pz的相对大小，决定着物体的沉浮：
当G＞Pz时，物体下沉至底，称为沉体。
当G=Pz时，物体潜没于液体中的任意位置而保持平衡，称为潜体(Submerged Bodies)。
当G＜Pz时，物体浮出液面，直至液面下部分所排开的液重恰等于物体的重量才保持平衡，这称为浮体(Floating Bodies)。船是其中最显著的例子。
2．潜体的平衡及稳定性
上面提到的重力与浮力相等，物体既不上浮也不下沉，只是潜体保持平衡的必要条件。若要求潜体在水中不发生转动，还必须重力和浮力对任何一点的力矩矢量和都为零。即重心C和浮心D在同一铅垂线上。这样，物体潜没在液体中既不发生移动，也不发生转动，潜体保持平衡。但这种平衡的稳定性，也就是遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复到它原来平衡状态的能力，则取决于重心C和浮心D在铅垂线上的相对位置。当浮心D与重心C重合时(图2-26a)，潜体在液体中处于任意方位都是平衡的，称为随遇平衡(Neutral Equilibrium)。
当浮心D在重心C之上时(图2-26b)，这样的潜体，在去掉使潜体发生倾斜的外力后，力Pz和G组成的力偶能使它恢复到原来的平衡位置。这种情况下的平衡称为稳定平衡(Stable equilibrium)。
当浮心D在重心C之下时(图2-26c)，潜体在去掉外力后Pz和G组成的力偶能使潜体继续翻转，这种情况下的平衡称为不稳定平衡(Unstable Equilibricm)。
图2-26
由此可见，要想潜体(如潜艇)处于稳定状态，就必须使重心位于其浮心之下。 3．浮体的平衡及稳定性
浮体的平衡条件与潜体相同，但它们的稳定性条件是不相同的。
潜体的平衡及稳定性要求重力G与浮力Pz大小相等，作用在同一铅垂线上，且重心C位于浮心D之下。
对于浮体，Pz与G相等是自动满足的，这是物体漂浮的必然结果。但是浮体的浮心D和其重心C的相对位置对于浮体的稳定性，并不像潜体那样，一定要求重心在浮心之下，即使重心在浮心之上也仍有可能稳定。这是因为浮体倾斜后，浮体浸没在液体中的那部分形状改变了，浮心的位置也随之变动，在一定条件下，有可能出现扶正力矩(Restoring Couple)，使得浮体仍可保持其稳定性。
图2-27为一对称浮体。通过浮心D和重心C的连线称为浮轴(Floating Axle)，在正常情况下，浮轴是铅垂的。当浮体受到某种外力作用(如风吹、浪击等)而发生倾斜时，浮体浸没在液体部分的形状有了改变，从而使浮心D的位置移至D′。此时，通过D′的浮力Pz′的作用线与浮轴相交于M点，称为定倾中心(Metacenter)；定倾中心M到原浮心D的距离称为定倾半径(Metacentric Radius)，以ρ表示；重心C与原浮心D的距离称为偏心距，以e表示。当浮体倾斜角α不太大(α＜10°＝的情况下，在实用上，可近似认为M点在浮轴上的位置是不变的。
浮体倾斜后能否恢复到原平衡位置，取决于重心C与定倾中心M的相对位置。如图2-27a所示，浮体倾斜后M点高于C点，即ρ＞e，重力G与倾斜后的浮力Pz′产生扶正力矩，使浮体恢复到原来的平衡位置，这种情况称为稳定平衡。反之，如图2-27b所示，M点低于C点，即ρ＜e，G与Pz′产生一倾覆力矩，使浮体更趋于倾倒，这种情况称为不稳定平衡。当浮体倾斜后，M点与C点重合，即ρ=e，G与Pz′不会产生力矩，此种情况称为随遇平衡。由此可见，浮体保持稳定的条件是：定倾中心M高于重心C，即定倾半径ρ大于偏心距e。
图2-27
对于重心不变的对称浮体，当浮体的形状和重量一定时，重心与浮心之间的偏心距也就确定了，因而浮体的稳定与否要视定倾半径ρ的大小而定。下面讨论确定定倾半径ρ的方法。如图2-27a所示，浮体倾斜一微小角度α以后，浮心D移动了一个水平距离l至D′。从图中知 ??lsin? (2-7-1)
式中，l的大小可以通过对浮体倾斜前后所受浮力的分析求得。浮体倾斜后所受浮力Pz′可以看成是原浮力Pz减去浮出部分AOA′失去的浮力，再加上新浸没
部分BOB′所增加的浮力。根据阿基米德原理知图中的三棱体AOA′与BOB′的体积相等，故浮体倾斜后失去的与增加的浮力亦相等，均以ΔP表示，则有 Pz′=Pz+ΔP-ΔP，利用理论力学中的合力矩定理，对原浮心D取矩，得
Pz′l=Pz20+ΔP2S
故 l??P?SP'z??P?S?Vp (2-7-2)
式中，S为图中两三棱体形心之间的水平距离；VP为浮体所排开的液体体积(即浮体的压力体体积)。
从图2-27知，当浮体倾斜角α较小时，三棱体的微小体积dV(图2-27c中阴影处)所受的浮力为
dP=γdV=γ2αy2L2dy=γ2αydA
式中L为浮体纵向长度；dA=L2dy为原浮面(即浮体与液面相交的平面上)上的微小面积，根据合力矩定理，将三棱柱所受浮力对O取矩，得
ΔP2S=∫AydP=γα∫Ay2dA=γαJ
的惯性矩。
将式(2-7-2)、(2-7-3)代入式(2-7-4)，得定倾半径
??J (2-7-3)
式中J=∫Ay2dA为全部浮面面积A对其中心纵轴O-O(即浮体倾斜时绕其转动的轴)
?VPsin?
当浮体倾斜角α比较小(α＜10°＝时，α≈sinα，上式成为 ??JVP (2-7-4)
由此可见，浮体定倾半径ρ的大小，与浮面对中心纵轴O-O的惯性矩J及浮体所排开的液体体积VP有关。求出定倾半径ρ以后，将其与偏心距e比较，便可判明浮体是否稳定。
以上讨论是浮体的横向稳定性问题，浮体的纵向稳定性远较其横向稳定性高，一般不必再作检算。
例2-5 一沉箱长度L=8m，宽度b=4m，重G=1000kN，重心C距底1.95m(如图2-28所示)。试校核该沉箱漂浮时的稳定性。
图2-28
解：设沉箱在水面上漂浮时的吃水深度为h，则据阿基米德原理有
G=γVP=γLbh G1000 h?=3.19m ??Lb9.8?8?4h2?3.192故
沉箱浮心D距底为=1.60m，则偏心距
e=CD=1.95-1.60=0.35m
定倾半径
1??JVP?12LbhLb3?b212h?4212?3.19=0.42m
因ρ＞e，故沉箱漂浮时是稳定的。
习 题
2-1 一封闭盛水容器如图所示，U形管测压计液面高于容器液面h=1.5m，求容器液面的相对压强p0。
题2-1图 题2-2图
2-2 一封闭水箱如图所示，金属测压计测得的压强值为4900Pa(相对压强)，测压计中心比A点高0.5m，而A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强及相对压强。
2-3 一密闭贮液罐，在边上8.0m高度处装有金属测压计，其读数为57.4kPa；另在高度为5.0m处也安装了金属测压计，读数为80.0kPa。求该贮液罐内液体的重度γ和密度ρ。
2-4 图为量测容器中A点压强的真空计。已知z=1m，h=2m，求A点的真空值pv及真空度hv。
2-5 一直立煤气管道如图所示。在底部测压管中测得水柱差h1=100mm，在H=20m高度处的测压管中测得水柱差h2=115mm，管外空气重度γa=12.6N/m3，求管中静止煤气的重度γ。
题2-4图 题2-5图
2-6 根据复式水银测压计(如图示)所示读数：z1=1.8m，z2=0.8m，z3=2.0m，z4=0.9m，zA
=1.5m，z0=2.5m，求压力水箱液面的相对压强p0。(水银的重度γp=133.28kN/m)。
2-7 图中所示给水管路出口阀门关闭时，试确定管路中A、B两点的测压管高度和测压管水头。
2-8 图示水压机的大活塞直径D=0.5m，小活塞直径d=0.2m，a=0.25m，b=1.0m，h=0.4m，
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