高考数学试题新亮点——类比推理题
1、实数系与向量系的类比：
实数系 实数0、单位1 数a的相反数－a 实数a的绝对值| a | 运算规律： ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， (ab)c＝a(bc) ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c ⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0 ⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 ⑦ | a·b |＝| a |·| b | || a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | 2、平面几何与立体几何：
3、圆与球的性质的类比：
圆 圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两条弦长相等 圆的周长C＝?d（d为直径） 圆的面积S＝?r2（r为半径） 球 球心与截面圆（不经过球心）圆心连线垂直于截面 与球心距相等的两个截面圆的面积相等 球的表面积S＝?d2（d为球直径） 4球的体积V＝?r3（r为球半径）（这一点不是很好3的类比）
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向量系 零向量→0、单位向量→e 向量→a的相反向量－→a 向量→a的模|→a| 运算规律： ①交换律：→a＋→b＝→b＋→a ②结合律：(→a＋→b)＋→c＝→a＋(→b＋→c) (→a·→b)→c≠→a(→b·→c)（乘法不满足） ③分配律：→a·(→b＋→c)＝→a·→b＋→a·→c ④不满足消去律：若→a·→b＝→a·→c，那么→b与→c不一定相等. ⑤若→a·→b＝0，那么不一定→a＝→0或→b＝0. ⑥公式：(→a＋→b)·(→a－→b)＝→a2－→b2 (→a±→b)2＝→a2±2→a·→b＋→b2 ⑦ |→a·→b|≤|→a|·|→b| ||→a|－|→b||≤|→a±→b|≤|→a|＋|→b| 平面几何 角及角平分线 线段的垂直平分线 三角形的三条边 平行四边形对角线相交一点，并且被平分 二面角及角平分面 线段的垂直平分面 四面体的四个面 立体几何 平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分 4、三角形与四面体的性质类比：
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 三角形三边的中垂线交于一点，且这一点是三角形外接圆的圆心（外心） 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 四面体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）1平行于第四个面，面积等于第四个面的 4四面体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交于一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点，这一点是四面体外接球的球心） 三角形的三条内角平分线交于一点，且四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点，且这这个点是三角形内切圆的圆心（内心） 个点是四面体的内切球的球心 三角形的三条中线相交于一点（重心），四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点这点把每条中线分成2：1. （重心），且被该点分成3：1 1三角形的面积S＝ah 2
5、直角三角形与直角四面体的类比： 直角三角形 如图，Rt△CAB中，∠C＝90?， O b h A H A c B a a H 1四面体的体积V＝Sh 3直角四面体 （在四面体中，若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，则改四面体成为直角四面体） 如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O为直角顶点： O c b B C S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCA AB2＝OA2＋OB2（c2＝a2＋b2） cos2A＋cos2B＝1 1112＝2＋2 OHab1外接圆半径R＝a2＋b2 2a＋b－cab内切圆半径r＝＝ 2a＋b＋c
cos2?＋cos2?＋cos2?＝1（?、?、?是侧面与底面所成的角） 11112＝2＋2＋2 OHabc1外接球半径R＝a2＋b2＋c2 2S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＋S△ABC内切球半径r＝ a＋b＋c2
6、等差数列与等比数列的类比：
等差数列{an}（公差为d） 通项：an＝a1＋(n－1)d am－an＝(m－n)d 若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有 (s－1)at＝(t－1)as 若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*， 则am＋an＝ap＋ar 若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列 n(a1＋an)前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ 2若ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*则有 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1 a1＋a2＋…＋an若cn＝，则数列{cn}也是等差数列 n若cn＝数列. 7、椭圆与双曲线的类比：
椭 圆 y H2 F1 A1 H1 O B1 B2 F2 A2 x H2 F1 A1 H1 B1 等比数列{bn}（公比为q） 通项：bn＝b1·qn1 －bm－＝qmn bn若b1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有 －－bts1＝bst1 若m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*， 则bm·bn＝bp·br 若m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列 前n项积：Tn＝b1·b2·…·bn＝(b1·bn)n 若bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*则有 b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1 若dn＝b1·b2·…·bn，则数列{dn}也是等比数列 若23ndn＝(b1·b2·b3·…·bn)1＋2＋3＋…＋n，则数na1＋2a2＋3a3＋…＋nan，则数列{cn}也是等差1＋2＋3＋…＋n1列{dn}也是等比数列. 双曲线 y B2 O A2 F2 x x2y2＋＝1（a＞b＞0） a2b2焦半径：| PF1 |＝a＋ex0，| PF2 |＝a－ex0 2b2通径：︱H1H2︱＝ aP是椭圆上一点，∠F1PF2＝?， 则S△PF1F2＝b2tan 2x2y2－＝1（a＞0，b＞0） a2b2 焦半径：左支上| PF1 |＝－(ex0＋a)，| PF2 |＝－(ex0－a) 右支上| PF1 |＝ex0＋a，| PF2 |＝ex0－a 2b2通径：︱H1H2︱＝ aP是双曲线上一点，∠F1PF2＝?， 则S△PF1F2＝b2cot 2?? 3