第四章
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?情况下的根轨迹图。
解：（1）负反馈情况
令s(s?1)(s?2)=0，解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?2?,??1,0?两段。
K 试绘制该系统在正、负反馈
s(s?1)(s?2)由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1
（2k?1）?（2k?1）?=，（k=0,1,2）
n?m3当k=0,1,2时，计算得?a分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由
111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d2不是根轨迹上dd?1d?2的点，故不是分离点，分离点坐标为d1
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s?3s?2s?K=0令s=j? 代入上式得?j??3??2j??K=0 写出实部和虚部方程
2???K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?6?2????03232因此，根轨迹在???2处与虚轴相交，交点处的增益K?6；另外实轴上的根轨迹分支在??0处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示
（2）正反馈情况
令s(s?1)(s?2)=0，解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为??2,?1?,?0,???两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a=?p??zii?1j?1nmjn?m??1
2k?，（k=0,1,2） 3当k=0,1,2时，计算得?a分别为0°，120°，-120° 确定分离点，由
111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d1不是根轨迹上dd?1d?2的点，故不是分离点，分离点坐标为d2
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s?3s?2s-K=0将s=j? 代入上式得?j?3?3?2?2j?-K=0 写出实部和虚部方程
2???-K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?-6?2????032因此，根轨迹在??0处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示 4-2设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?的复数部分是圆，并求出圆的圆心和半径。
解：系统实轴上的根轨迹为???,?z?,?p,0? 根轨迹分离点坐标满足
K(s+z)(z?p)绘制根轨迹图，证明根轨迹
s(s?p)11122+=解得d1??z?z?pz,d2??z?z?pz dd?pd?z4Kz?(p?K)2p?K系统闭环特征方程s?(p?K)s+Kz=0解得s1,2=- ?j2224Kz?(p?K)2p?K令x=-则 ,y?22p?K2(p?K)22(x?z)=(z-)?z?z(p?K)?24 224Kz?(p?K)(p?K)y2??Kz?442两式相加得(x?z)?y=z?zp 又分离点d到开环零点距离r=d?z?222z2?pz 即(x?z)2?y2?r2=(d?z)2
故根轨迹的复数部分是圆，圆心为零点，半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下：
4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹图。 （1）G(s)?K(s?2)K(s?1) （2）G(s)?2
s(s?1)(s?3)s(0.1s?1)K(s?1)K(s?5) （4）G(s)? 2s(s?1)(s?3)（3）G(s)?（5）G(s)?K(s?4)K(s?0.2)G(s)? （6）
(s?1)2s2(s?3.6)解：（1）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??2 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??3
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?3,j0) 一个终点为(?2,j0) 另两个终点为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为??3,?2?,??1,0?两段。
由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1
（2k?1）?（2k?1）?=，（k=0,1）
n?m2当k=0,1时，计算得?a分别为-90°，90° 则系统根轨迹如下图所示
（2）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??1 3个开环极点p1?0,p2?0,p3??10
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(0,j0),(?10,j0) 一个终点为(?1,j0) 另两个终点为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为??10,?1?段。
由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线，它们在实轴上的交点坐标?a??p??zii?1j?1nmjn?m??4.5
渐近线与实轴正方向的夹角为?a?（2k?1）?（2k?1）?=，（k=0,1）
n?m2当k=0,1时，计算得?a分别为-90°，90° 确定分离点，由
1111++=解得d1??4,d2??2.5 ddd?10d?132确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程0.1s?s?Ks?K=0将s=j? 代入上式可求得???=0
?K?0则系统根轨迹如下图所示
（3）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??5 2个开环极点p1??1,p2??3
根轨迹分支数为2，起点分别为(?1,j0),(?3,j0)，终点分别为(?5,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?5?,??3,?1?两段。
轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m?1
（2k?1）?=（2k?1）?，（k=0）则?a??
n?m111+=确定分离点，由解得d1??5?22，d2??5?22 d?1d?3d?5确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程s?(4?K)s?3?5K=0将s=j?
2??=0????=17j代入上式可求得?均舍去 ,3?K?-?K??4?5??则系统根轨迹如下图所示
（4）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??1 2个开环极点p1?0,p2?0
根轨迹分支数为2，起点分别为(0,j0),(0,j0)，终点分别为(?1,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?1?段。
轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a?确定分离点，由
?p??zii?1j?1nmjn?m?1
（2k?1）?=（2k?1）?，(k=0)则?a??
n?m111+=解得d??2，则分离点为??2,j0? ddd?1则系统根轨迹如下图所示
（5）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??4 2个开环极点p1??1,p2??1
根轨迹分支数为2，起点分别为(?1,j0),(?1,j0)，终点分别为(?4,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?4?段。
轨迹有1条渐近线，它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m?2
（2k?1）?=（2k?1）?，(k=0)则?a??
n?m111+=确定分离点，由解得d??7 d?1d?1d?4则系统根轨迹如下图所示
（6）由开环传递函数可知，系统有1个开环零点z1??0.2 3个开环极点p1?0,p2?0,p3??3.6
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,j0),(0,j0),(?3.6,j0)，终点分别为(?0.2,j0)和无穷远处。
在实轴上的根轨迹为??3.6,?0.2?段。
轨迹有2条渐近线，它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1.7
（2k?1）?（2k?1）??=，(k=0,1)则?a??
n?m221111=确定分离点，由+?解得d1??1.67,d2??0.43
ddd?3.6d?0.2则系统根轨迹如下图所示