大学物理习题解答——热学部分 35
第五章 气体动理论
5—2 一容器内储有氧气，其压强为1.01?105pa，温度为27℃，求：(1)气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平均距离。(设分子间均匀等距排列)
解 该题氧气为理想气体。由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，每个分子占有的体积为V0?d，由数密度的含意可知V0?1/n
(1)单位体积分子数n?p/kT?2.44?1025m?3 (2)氧气的密度??m/V?pM/RT?1.30kg?m?3 (3)氧气分子的平均平动动能?k?3kT/2?6.21?10?9?213J
(4)氧气分子的平均距离d?31/n?3.45?10m
以上求解，我们可以了解通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量数量级。 5—4 温度为0C和100C时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1eV，气体的温度需多高?
解 分子在0℃和100℃时平均平动动能分别为
00?k1?3kT1/2?5.65?10?21J，?k2?3kT2/2?7.72?10?21J
由于1eV?1.6?10J，分子具有1eV平均平动动能时，气体温度为 T?2?k/3k?7.73?103K
05—6 求温度为 127.0C的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。
?192解 分清平均速率?、方均根速?及最概然速率?p的物理意义，并利用三种速率相应的公式求解。
氢气的摩尔质量MH2?2?10?3kg?mol?1，气体温度T?400K，则有
??8RT?2.06?103m?s?1；?2??MH28RT?5.16?102m?s?1；?2??M02?333RT2RT ?2.23?103m?s?1；?p??1.82?103m?s?1；MH2MH2氧气的摩尔质量M02?3.2?10?2kg?mol?1，则有
??3RT?5.58?102m?s?1；?p?M02232RT?4.45?102m?s?1。 M0255—7 体积为1.0?10m的容器中含有1.01?10个氢气分子，如果其中压强为1.01?10pa。求该氢气的温度和分子的方均根速率。
解 由p?nkT，可得 T?p/(nk)?pV/(Nk)?72.5K，?2?3RT/MH2?9.51?102m?s?1。 5—8 在容积为2.0?10m的容器中，有内能为6.75?10J的刚性双原子分子理想气体。(1)求气体的压强；(2)设分子总数为5.4?10个，求分子的平均平动动能及气体的温度。
22?332miRT，i为气体分子的自由度，对刚性双原子分子，i?5。 M2由上述内能公式和pV?mRTM，得出气体的压强p?2E/iV?1.35?105pa。
解 (1)一定质量的理想气体内能为E?(2)由公式p?nkT求气体温度，由?k?3kT/2可求出气体分子的平均平动动能。分子数密度n?N/V，则该气体的温度 T?p/(nk)?pV/(Nk)?3.62?10K 气体分子的平均平动动能
?232?k?3kT/2?7.49?10?21J
?245—9 在容积为3.0?10m的容器中装有2.0?10kg气体，容器内气体的压强为5.06?10pa，求气体分子的最概然速率。
解 题中未给出摩尔质量M和气体温度T，无法直接由?p?2RT/M求出最概然速率。但是，利用
?6pV?mRTM，可得RT/M?pV/m，则最概然速率为 ?p?2RT/M?2pV/m?389m?s?1
55—11 在压强为1.01?10pa下，氮气分子的平均自由程为6.0?10cm，当温度不变时，在多少压强下，
其平均自由程为1.0mm。
36 大学物理习题解答——热学部分
解 气体分子热运动的平均自由程??1/2?dn，其中分子数密度n由物态方程p?nkT确定，因此在温度一定时，平均自由程??1/p。当自由程由?1改变为?2时，压强为 p2?(?1/?2)p1?6.06pa 5—13 若氖气分子的有效直径为2.59?10cm，问在温度为600K、压强为1.33?102pa时氖分子1s内的平均碰撞次数为多少?
解 分子1s内的平均碰撞次数即平均碰撞频率Z?因此，氖分子的平均碰撞频率为 Z??822?d2n?，其中分子数密度n及平均速率?可利用物
态方程p?nkT和平均速率??(8RT/?M)1/2公式分别求出。
2?d2n??2?d2(p/kT)8RT/?M
第六章 热力学基础
6—3 如图6—3所示，一定量的空气，开始在状态A，压强为
2.0?105pa，体积为2.0?10?3m3，沿直线AB变化到状态B后，压强变为1.0?105pa。体积变为3.0?10?3m3，求此过程中气体所作的功。
解 理想气体作功的表达式为W?p(V)dV。功的数值就等于p—V图中过程曲线下所对应的面积SABCD?12(BC?AD)?CD，W?150J。
3?图6—3
?23
56—5 一定量的空气，吸收了1.71?10J的热量，并保持在1.0?10pa下膨胀，体积从1.0?10m增
加到1.5?10m，问空气对外作了多少功?它的内能改变了多少?
解 气体作等压膨胀，作功由W?p(V1?V1)求得。取该空气为系统，根据热力学第一定律Q??E?W可确定它的内能变化。在计算过程中要注意热量、功、内能的正负取值。 该空气等压膨胀，对外作功为 W?p(V1?V1)?5.0?10J 其内能的改变为 ?E?Q?W?1.21?10J。
6—7 0.1kg的水蒸气自120C加热升温至140C。问：(1)在等体过程中；(2)在等压过程中，各吸收多少热量?
解 热量的计算公式为Q?nCm?T。按热力学第一定律
00?2323mCV,m(T2?T1)?3.1?103J Mm在等压过程中吸收的热量为 Qp??pdV??E?Cp,m(T2?T1)?4.0?103J
M在等体过程中吸收的热量为 QV??E?56—8 一压强为1.0?10pa，体积为1.0?10m的氧气自0℃加热到100℃。问：(1)当压强不变时，需
?33要多少热量?当体积不变时，需要多少热量?(2)在等压或等体过程中各作了多少功?
解 根据题给初态条件得氧气的物质的量为 n?压摩尔热容 Cp,mm?p1V1/RT1?4.41?10?2mol。查表知氧气的定M?29.44J?mol?1?K?1，定体摩尔热容CV,m?21.12J?mol?1?K?1。那么
(1)等压过程氧气(系统)吸热 Qp??pdV??E?nCp,m(T2?T1)?129.8J
等体过程氧气(系统)吸热 QV??E?mCV,m(T2?T1)?93.1J； M大学物理习题解答——热学部分 37
(2)利用热力学第一定律Q??E?W求解。氧气的内能变化为 ?E?mCV,m(T2?T1)?93.1J M由于在(1)中已求出Qp与QV，则由热力学第一定律可得在等压、等体过程中所作的功分别为
Wp?Qp??E?36.7J；WV?QV??E?0
6—12 空气由压强为1.52?105pa，体积为5.0?10m，等温膨胀到压强为1.01?105pa，然后再经等压压缩到原来的体积。试计算空气所作的功。
?33mRT1ln(V2/V1)?p1V1ln(p1/p2) M空气在等压压缩过程中所作的功为 Wp??pdV?p2(V1?V2)
解 空气在等温膨胀过程中所作的功为 WT?利用等温过程关系 p1V1?p2V2，则空气在整个过程中所作的功为
W?WT?Wp?p1V1ln(p1/p2)?p2V1?p1V1?55.7J
56—14 温度为27C、压强为1.01?10pa的一定量氮气，经绝热压缩，使其体积变为原来的1／5，求压
0缩后氮气的压强和温度。
解 由绝热方程可得氮气经绝热压缩后的压强与温度分别为
p2?(V1V2)?p1?9.61?105pa, T2?(V1V2)??1T1?5.71?102K
6—16 0.32的氧气作如图6—16所示的ABCDA循环，设V2?2V1，T1?300K，T2?200K，求循
环效率。(氧气的定体摩尔热容的实验值为CV,m?21.1J?mol?K)
解 该循环是正循环。循环效率可根据定义式??W/Q来求出，其中
?1?1W表示一个循环过程系统作的净功，Q为循环过程系统吸收的总热量。因
AB、CD为等温过程，循环过程中系统作的净功为
W?WAB?WCD??mR(T1?T2)ln(V2/V1)?5.76?103JMmmRT1ln(V2/V1)?RT2ln(V1/V2)MM
由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB段)和等体升压(对应于DA段)
中发生，而等温过程中?E?0，则QAB?WAB。等体升压过枉中W?0，
图6—16 则QDA??EDA，所以，循环过程中系统吸热的总量为
mm Q?QAB?QDA?WAB??EDA?RT1ln(V2/V1)?CV,m(T1?T2)?3.84?104J
MM由此得到该循环的效率为??W/Q?15%。