圆锥曲线题型
与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让同学们对这方面的知识有一个比较系统的了解，本文系统阐述一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”．
一、重、难、疑点分析
1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题．
2．难点：双圆锥曲线的相交问题．(应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．)
3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)
二、题型展示
1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长|AB|为：
(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 过抛物线y??14x2的焦点作倾斜角为?的直线l与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角?．
分析一：由弦长公式易解．解答为：
∵ 抛物线方程为x2=-4y， ∴焦点为(0，-1)． 设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:8?1?k2???4k?2?4?1???4? ∴k??1
又有tan???1得:???或??3?44. 分析二:利用焦半径关系.∵AF??y?p12,BF??y?p22 ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大
值与最小值．
解一：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
当y=0时，(x2+y2)min=0．
解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入
x2+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
令x+y=u， 则有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴1?5?u?1?5
当u?1?5时,y?1?555??0,2?; 当u?1?5时,y?1?5??0,2? ∴?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?5
3．与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．
例3.在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)
1AF?1BF为定值. 证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1． ∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．
由抛物线的定义：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线．
(2)如图2－46，设∠AFK=θ．
∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF?21?sin?
又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF?21?sin?
小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.
4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)． 例4 已知曲线C2??y?a?21:x2?1及C2:y?x2?1有公共点,求实数a的
取值范围．
可得：
y2=2(1-a)y+a2-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0， ∴a?5
2
. 如图2－47，可知：
椭圆中心?0,a?,半轴长a??2,抛物线顶点为?0,1?,所以当圆锥曲线在下
方相切或相交时,a?1?2.
综上所述,当1?2?a?52时, 曲线C1与C2相交. 5．利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题
x2例5.已知椭圆a?y22b2?1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆
上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围； 22解：（1）∵F1(?c,0),则xM??c,yM?ba，∴k?bOM?ac。 ∵k??ba,OM与AB是共线向量，∴?b2b2ABac??a，∴b=c,故e?2。
（2）设FQ1?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,?r1?r2?2a,F1F2?2c, ??r21?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a22r??r?1?a2cos?1?0
1r22r1r21r2(r1?r222)当且仅当r1?r2时，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。
由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.
6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题
例6.椭圆x29?y24?1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：由椭圆x29?y24?1的知焦点为F1（－5,0）F2（5,0）. 设椭圆上的点可设为P（3cos?,2sin?）.??F1PF2为钝角 ∴ PF1?PF2?（?5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?) =9cos
2
?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0
解得：?55?cos??55 ∴点P横坐标的取值范围是（?355,355）. 解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝
角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.