2016-2017学年高二数学(苏教版选修1-2)习题:第1章 统计案例 章末复习提升1

2

1.独立性检验

n?ad-bc?2

利用χ=(其中n=a+b+c+d)来确定在多大程度上认为“两个变量

?a+c??b+d??a+b??c+d?

2

有相关关系”.应记熟χ2的几个临界值的概率. 2.回归分析

(1)分析两个变量相关关系常用:散点图或相关系数r进行判断.在确认具有线性相关关系后,再求线性回归方程,进行预测.

(2)对某些特殊的非线性关系,可以通过变量转化,把非线性回归转化为线性回归,再进行研究.

题型一 独立性检验思想的应用

独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想,类似于数学中的反证法,要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小,如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.

例1 为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积 3

[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 2

频数 30 40 20 10 表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 10 [65,70) 25 [70,75) 20 [75,80) 30 [80,85) 15 完成下面2×2列联表,能否在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”. 表3:

注射药物A 注射药物B 合计 解 列出2×2列联表

疱疹面积 小于70mm 2疱疹面积 小于70mm a= c= 2疱疹面积不 小于70mm b= d= 2合计 n= 疱疹面积不 小于70mm 2总计 注射药物A 注射药物B 合计 a=70 c=35 105 b=30 d=65 95 100 100 n=200 2200×?70×65-35×30?χ2=≈24.56,

100×100×105×95

由于χ2>10.828,所以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

跟踪演练1 某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系,随机抽取了180件产品进行分析.其中设备改造前生产的合格品有36件,不合格品有49件;设备改造后生产的合格品有65件,不合格品有30件,根据上面的数据,你能得出什么结论? 解 根据已知条件列出2×2列联表:

设备改造后 设备改造前 合格品 65 36 不合格品 30 49 合计 95 85 3

2

合计 101 79 180 提出假设H0:设备改造与生产合格品无关. 2

180×?65×49-36×30?

由公式得χ2=≈12.379.

95×85×101×79

∵χ2>10.828,∴我们有99.9%的把握认为设备改造与生产合格品有关系. 题型二 线性回归分析

进行线性回归分析的前提是两个变量具有线性相关关系,否则求出的线性回归方程就没有实际意义,所以必须先判断两个变量是否线性相关.分析判断两个变量是否线性相关的常用方法是利用散点图进行判断,若各数据点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相关关系.此方法直观、形象,但缺乏精确性.

例2 在一段时间内,分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为

价格x 需求量y 已知∑xiyi=62,∑x2i=16.6. ==

i1

i1

5

5

1 1.4 12 2 1.6 10 3 1.8 7 4 2 5 5 2.2 3 (1)画出散点图;

(2)求出y对x的线性回归方程;

(3)如果价格定为1.9万元,预测需求量大约是多少?(精确到0.01t). 解 (1)散点图如下图所示:

11

(2)因为x=×9=1.8,y=×37=7.4,

55∑xiyi=62,=∑x2i=16.6, =i1i1∑xiyi-5x yi=1

所以b=522∑x-5xii=1

^

^

^5

5

5

62-5×1.8×7.4==-11.5,

16.6-5×1.82

a=y-bx=7.4+11.5×1.8=28.1, 故y对x的线性回归方程为y=28.1-11.5x.

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