2
1．独立性检验
n?ad－bc?2
利用χ＝(其中n＝a＋b＋c＋d)来确定在多大程度上认为“两个变量
?a＋c??b＋d??a＋b??c＋d?
2
有相关关系”．应记熟χ2的几个临界值的概率． 2．回归分析
(1)分析两个变量相关关系常用：散点图或相关系数r进行判断．在确认具有线性相关关系后，再求线性回归方程，进行预测．
(2)对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转化，把非线性回归转化为线性回归，再进行研究．
题型一 独立性检验思想的应用
独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．
例1 为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 3
[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 2
频数 30 40 20 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 10 [65,70) 25 [70,75) 20 [75,80) 30 [80,85) 15 完成下面2×2列联表，能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． 表3：
注射药物A 注射药物B 合计 解 列出2×2列联表
疱疹面积 小于70mm 2疱疹面积 小于70mm a＝ c＝ 2疱疹面积不 小于70mm b＝ d＝ 2合计 n＝ 疱疹面积不 小于70mm 2总计 注射药物A 注射药物B 合计 a＝70 c＝35 105 b＝30 d＝65 95 100 100 n＝200 2200×?70×65－35×30?χ2＝≈24.56，
100×100×105×95
由于χ2>10.828，所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
跟踪演练1 某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析．其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，根据上面的数据，你能得出什么结论？ 解 根据已知条件列出2×2列联表：
设备改造后 设备改造前 合格品 65 36 不合格品 30 49 合计 95 85 3
2
合计 101 79 180 提出假设H0：设备改造与生产合格品无关． 2
180×?65×49－36×30?
由公式得χ2＝≈12.379.
95×85×101×79
∵χ2>10.828，∴我们有99.9%的把握认为设备改造与生产合格品有关系． 题型二 线性回归分析
进行线性回归分析的前提是两个变量具有线性相关关系，否则求出的线性回归方程就没有实际意义，所以必须先判断两个变量是否线性相关．分析判断两个变量是否线性相关的常用方法是利用散点图进行判断，若各数据点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．此方法直观、形象，但缺乏精确性．
例2 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为
价格x 需求量y 已知∑xiyi＝62，∑x2i＝16.6. ＝＝
i1
i1
5
5
1 1.4 12 2 1.6 10 3 1.8 7 4 2 5 5 2.2 3 (1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t)． 解 (1)散点图如下图所示：
11
(2)因为x＝×9＝1.8，y＝×37＝7.4，
55∑xiyi＝62，＝∑x2i＝16.6， ＝i1i1∑xiyi－5x yi＝1
所以b＝522∑x－5xii＝1
^
^
^5
5
5
62－5×1.8×7.4＝＝－11.5，
16.6－5×1.82
a＝y－bx＝7.4＋11.5×1.8＝28.1， 故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x.
^
3